2012届高考复习方案数学理科(北师版)第2单元第8讲-指数与指数函数

第8讲│指数与指数函数第8讲指数与指数函数1．指数幂(1)指数幂的推广①零指数幂：a0＝____(a≠0)．②负指数幂：a－n＝______(a≠0，n∈N*)．③分数指数幂：amn＝______(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．a－mn＝1amn＝________(a＞0，m、n∈N*，n＞1)．④0的正指数幂是0,0的负指数幂无意义．(2)根式及性质①xn＝a(n∈N，n＞1)⇔x＝____________.②nan＝__________.③(na)n＝____.(3)有理指数幂的运算性质①aras＝______(a＞0，r、s∈Q)．②(ar)s＝______(a＞0，r、s∈Q)．③(ab)r＝______(a＞0，b＞0，r∈Q)．知识梳理第8讲│知识梳理1aar＋sarsarbr1annam1namnan为奇数，±nan为偶数an为奇数，|a|n为偶数第8讲│知识梳理要点探究►探究点1指数幂的化简与求值第8讲│要点探究例1化简：(1)(0.027)－13－－16－2＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－10(2－3)－1[思路]将负指数化为正指数[解答](0.027)－13－－16－2＋2560.75－|－3|－1＋(－5.55)0－10(2－3)－1＝[(0.3)3]－13－(－1)－2(6－1)－2＋(44)34－3－1＋1－102－3＝310－1－36＋43－13＋1－102＋34－3＝103－13＋29－20－103＝12－103第8讲│要点探究(2)a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷1－23ba·3a.[思路]把根式化为分数指数幂进行运算[解答]原式＝a13a－8ba23＋23ab＋4b23÷a13－2b13a13·a13＝a13a－8ba23＋23ab＋4b23·a13a13－2b13·a13＝aa－8ba－8b＝a.第8讲│要点探究[点评]分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算．对指数幂的运算：①要熟练掌握根式与分数指数幂的转换关系；②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式；③运算程序化，即先把根式化为分数指数幂并尽量化简，再应用指数幂的运算法则和乘法公式．第8讲│要点探究计算：(1)3a92·a－3÷3a－7·3a13[解答]原式＝a92·a－3213÷a－73·a13312＝(a3)13÷(a2)12＝a÷a＝1第8讲│要点探究计算：(2)(632·3＋6243·2)(34－36＋39)[解答]原式＝256·312＋356·212223－213·313＋323＝312·212213＋313223－213·313＋323＝312·2122133＋3133＝56.►探究点2指数函数的图像与应用第8讲│要点探究[思路]函数解析式转化为分段函数，作出图像，利用图像求解例2已知函数y＝13|x＋1|.(1)作出图像；(2)由图像指出其单调区间；(3)由图像指出当x取什么值时y有最值，并写出值域；(4)若关于x的方程13|x＋1|＝m有正根，求m的取值范围[解答](1)方法一：由函数解析式可得y＝13||x＋1＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x－1，其图像由两部分组成：一部分是由指数函数y＝13x()x≥0向左平移1个单位而得；另一部分是由y＝3x()x0向左平移一个单位而得．如图方法二：函数y＝13||x为偶函数，关于y轴对称，做出y＝13x()x≥0的图像，当x0时，将图像关于y轴的对称图像得到y＝13||x的图像，将y＝13||x的图像向左平移1个单位，即可知y＝13||x＋1的图像．(2)由图像可知函数的递增区间为()－∞，－1，递减区间为()－1，＋∞.(3)当x＝－1时，ymax＝130＝1，值域为(0,1]．(4)由图像，令x＝0，得y＝13，则m的取值范围是0，13.第8讲│要点探究第8讲│要点探究[点评](1)与指数函数有关的函数的图像问题的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像；(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图像利用数形结合求解．►探究点3指数函数的性质第8讲│要点探究[思路]利用定义法判断函数的奇偶性和单调性，并结合单调性求函数的值域例3已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．[解答](1)函数的定义域是R，关于原点对称，又f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－10x－10－x10－x＋10x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；(2)证明：f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1，令x2x1，则f(x2)－f(x1)＝1－2102x2＋1－1－2102x1＋1＝2×102x2－102x1102x2＋1102x1＋1，∵函数y＝10x为增函数，x2x1，∴102x2102x1，∴102x2－102x10，又∵102x1＋10,102x2＋10，∴2×102x2－102x1102x2＋1102x1＋10，故当x2x1时，f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，∴函数f(x)为R上增函数；(3)f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1，∵102x0，∴102x＋11，∴01102x＋11，∴02102x＋12，∴－2－2102x＋10，∴－11－2102x＋11，即函数的值域为(－1,1)．第8讲│要点探究►探究点4指数函数的性质的综合应用第8讲│要点探究例4[2010·潍坊模拟]已知函数fx＝13x，x∈[－1,1]，函数gx＝f2x－2afx＋3的最小值为ha.(1)求ha；(2)是否存在实数m，n同时满足以下条件：①mn3；②当ha的定义域为n，m时，值域为n2，m2.若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．[思路](1)利用换元法把问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题；(2)确定函数在给定区间内的单调性，利用单调性得到m，n所满足的条件，然后求解．[解答](1)因为x∈[]－1，1，所以13x∈13，3.设13x＝t，t∈13，3，则g()x＝φ()t＝t2－2at＋3＝()t－a2＋3－a2.当a13时，h()a＝φ13＝289－2a3；当13≤a≤3时，h()a＝φ()a＝3－a2；当a3时，h()a＝φ()3＝12－6a，综上：h()a＝289－2a3a13，3－a213≤a≤3，12－6a()a3.(2)因为mn3，a∈[]n，m，所以h()a＝12－6a.因为h()a的定义域为[]n，m，值域为[]n2，m2，且h()a为减函数，所以12－6m＝n2，12－6n＝m2，两式相减得6()m－n＝()m－n()m＋n，因为mn，所以m－n≠0，得m＋n＝6，但这与“mn3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．第8讲│要点探究[点评]利用换元法求函数最值时，切记不要忽略新元的取值范围．规律总结第8讲│规律总结1．利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式转化为分数指数幂，再根据分数指数幂运算性质进行计算．2．指数函数型的解题方法及一般规律(1)指数函数的底数a0且a≠1，这是隐含条件．(2)指数函数y＝ax的单调性与底数a与1的大小有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．第8讲│规律总结(3)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数，利用图像比较大小；如果底数和指数都不同，利用中间变量0或1比较大小．(4)解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数与1的大小不确定时，注意分类讨论．