2012届高考复习方案数学理科(北师版)第3单元第23讲-解三角形的应用

第23讲│解三角形的应用第23讲解三角形的应用知识梳理第23讲│知识梳理α＋β＋∠B＝πAB2＝a2＋b2－2abcosα2RsinB2RsinC第23讲│知识梳理正弦正弦余弦第23讲│知识梳理atanαADsinβ3.实际问题中常用的角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______的叫仰角，目标视线在水平视线______的叫俯角，如图23－1(a)所示．第23讲│知识梳理上方下方图23－1第23讲│知识梳理正北(2)方位角指从某点的________方向顺时针转到目标方向线的水平角，如图23－1(b)中B点的方位角为α.(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．第23讲│知识梳理4．三角形面积公式(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝__________＝abc4R(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r；(4)若p＝a＋b＋c2，则三角形的面积S＝pp－ap－bp－c.12acsinB5．三角形中的三角函数关系在△ABC中有：(1)sinA＝sin(B＋C)；cos(A＋B)＝________，tanC＝等；(2)sinB＋C2＝cosA2，sinB2＝__________，tanB＋C2＝1tanA2等；(3)tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.第23讲│知识梳理－cosC－tan(A＋B)cosA＋C2要点探究►探究点1距离的测量第23讲│要点探究1[2009·海南、宁夏卷]为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图23－2)，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．第23讲│要点探究第23讲│要点探究[思路]要求出M，N间距离，可以以MN为边构造三角形，把问题转化为解三角形问题．首先要寻找已知条件，这里可借助于可测的A点到M，N点的俯角及B点到M，N的俯角以及A，B间的距离．第23讲│要点探究[解答]方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1、β1，B点到M，N的俯角α2、β2；A，B的距离d(如下图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝dsinα2α1＋α2；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝dsinβ2β2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·ANα1－β1.第23讲│要点探究第23讲│要点探究方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如上图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝dsinα1α1＋α2；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝dsinβ1β2－β1；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝BM2＋BN2＋2BM·BNβ2＋α2.第23讲│要点探究[点评]测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．本题中把测量目标纳入到△AMN或者△BMN均可，这两个三角形只能测量出求解目标的对角，要解这样的三角形就必需求出其中的两条边长，而这两条边长就可以借助于△MAB，△NAB求出．根据求解目标确定三角形，借助于其他的三角形求这个三角形的元素，就是测量问题的基本思想．请看下面的变式．第23讲│要点探究[2010·陕西卷]如图23－3所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？图23－3第23讲│要点探究[思路]求解的目标是CD的长度，根据已知△DAB可解，在△DBC中，可以求出BD，又已知BC和∠CBD，根据余弦定理即可求出CD.第23讲│要点探究[解答]由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ADB中，由正弦定理得DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝103.在△DBC中，BC＝203，∠DBC＝60°，CD2＝300＋1200－2×103×203×12＝900⇒CD＝30，t＝3030＝1小时．第23讲│要点探究►探究点2高度的测量第23讲│要点探究2如图23－4，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.图23－4第23讲│要点探究[思路]不可到达底部的测高问题，可考虑解高所在的直角三角形和水平的斜三角形．[解答]在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以BC＝30sin30°sin135°＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152·tan60°＝156(米)．答：塔高156米．第23讲│要点探究空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为266m，这两测点均离地1m，则测量时气球离地__________m.[思路]根据题意画出解题示意图，根据立体几何知识和解三角形的方法解决．【答案】26677＋1第23讲│要点探究[解析]如图所示，D为气球C在平面ABD上的正投影，设CD＝x，依题意知：∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x，BD＝3x.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(3x)2－2x·(3x)·cos150°＝7x2，解得x＝26677，故测量时气球离地26677＋1m.第23讲│要点探究►探究点3三角形的面积3[2010·衢州模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)记m＝(sinC＋sin(B－A)，2)，n＝(sin2A,1)，若m与n共线，求△ABC的面积．第23讲│要点探究[思路](1)根据已知条件和余弦定理可得关于a，b的一个方程，再根据三角形面积得关于a，b的另一个方程，即可求出a，b；(2)根据m与n共线可得关于角A，B的三角函数的方程，通过这个方程可以寻找角A，B的三角函数的关系，求出角或者根据这个关系找到边的关系．第23讲│要点探究[解答](1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，12absinC＝3，即ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)∵m与n共线，∴sinC＋sin(B－A)－2sin2A＝0，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233，∴S＝12absinC＝233.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a.联立方程a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.∴S＝233.所以△ABC的面积为S＝233.第23讲│要点探究►探究点4三角形中边角问题的综合第23讲│要点探究4[2010·盐城模拟]设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝23，试求AB→·BC→的最小值．第23讲│要点探究[思路](1)三角形的两条边所在向量的数量积实际是这两条边的边长与其夹角的余弦之间的关系，转化后，再根据正弦定理把边的关系转化为角的关系，即可求出角B；(2)所求的数量积中两向量的夹角是已知的，两向量的模之间可以根据余弦定理建立一个等式，只要根据基本不等式即可求出模的乘积的最小值．第23讲│要点探究[解答](1)因为(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0，所以(2a＋c)accosB＋cabcosC＝0，即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0.根据正弦定理得(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，所以2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0，即cosB＝－12，所以B＝2π3.(2)因为b2＝a2＋c2－2accos2π3，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4.所以AB→·BC→＝accos2π3＝－12ac≥－2，即AB→·BC→的最小值为－2.第23讲│要点探究[点评]根据正弦定理和余弦定理，实现三角形之间关系的相互转化，然后根据转化后的方程求解三角形的元素是解三角形的基本方法．当三角形中的已知元素不能完全把三角形固定下来时，可以根据正弦定理和余弦定理建立其三角之间的关系，通过这个关系式达到求解最值、范围之类的问题．规律总结第23讲│规律总结1．解决测量问题的基本方法是把测量目标纳入到一个三角形中，这个三角形的一些元素是可以测量出来的，一些元素是可以借助于其他可以测量的三角形求解出来的，通过测量的、求解的元素使这个三角形可解．2．解决不可及目标的测量、航海问题的计算，要注意各种角的概念，解题时根据这些概念画出图形，然后分析求解目标所在的三角形，在整体中寻找这个三角形可解的条件，然后制订计划具体求解各个三角形．第23讲│规律总结3．三角形的面积公式中以公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB为核心，在使用这个公式时要和正弦定理、余弦定理相互联系，构建三角形边角关系的方程求解三角形面积需要的元素．