偏微分方程

偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION(P.D.E)浙江大学数学系2参考书目《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。《数学物理方程》，王明新，清华大学出版社。浙江大学数学系3一.偏微分方程的基本概念),,,(21nxxxx自变量),,,()(21nxxxuxu未知函数0),,,,,,(2121xuxuxuuxFn偏微分方程的一般形式浙江大学数学系4PDE的阶PDE的解古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE浙江大学数学系5线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部。半线性PDE：拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。浙江大学数学系6举例（未知函数为二元函数）0xu1.0xuatu2.atxx变换解为：)(yfu解为：)(atxfu0ua浙江大学数学系7举例（未知函数为二元函数）022222xuatu4.02txu3.解为：)()(thxguatxatx变换02u解为：)()(atxhatxgu浙江大学数学系802222yuxu5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。)(zfr1ln也是解22yxr0633xuxuutu6.特解都不易找到KDV方程举例（未知函数为二元函数）浙江大学数学系97.uxteuuu拟线性PDE8.22vvvvvyyyxxx拟线性PDE9.)())(,(yxvyyxxvvevvyxa半线性PDE10.uuuxtsin半线性PDE11.222uuuxt非线性PDE浙江大学数学系10举例(多元函数)0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyuxu拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程浙江大学数学系11二.定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题浙江大学数学系12经典的定解问题举例波动方程的初值问题（一维）)(),()(),(,0),,(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt浙江大学数学系13经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）)(),(,0),,(0222xtxuRxttxfxuatut浙江大学数学系14经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题)())()((),(,022222xgnuxuxRyxyuxu0,11,00,0第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）浙江大学数学系15经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题)(),(),(),()(),(0,0),,(00222thtxutgtxuxtxuLxttxfxuatuLxxt浙江大学数学系16何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。浙江大学数学系17三.物理模型与定解问题的导出•波动方程的导出•热传导方程的导出浙江大学数学系18弦振动方程与定解问题一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。浙江大学数学系19取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻t，弦线在x点的位移为u(x,t)OUXPQxxx)(xT)(xxT此为上图中PQ的放大图示12浙江大学数学系20假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为xS即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力T的大小与时间t无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力T的方向正是弦的切线方向。浙江大学数学系210cos)(cos)(12xTxxT根据牛顿第二运动定律，xfxTxxTtux01222sin)(sin)(1xu),(1tantxxu),(2tantxxxu),(1sintxxu),(2sintxxxu1cos11cos2(*1)(*2)OUXPQxxx)(xT)(xxT12浙江大学数学系22(*1))()(xTxxT这表明张力的大小与x也无关，即0TT常数(*2),),(),(),(022022xtxfxtxuxTttxux，微分中值定理),(xxxx浙江大学数学系23022022fxuTtu令0x，可得微分方程方程弦是均匀的，故为常数，记),(22222txfxuatu),(,002txffTa方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。)0,0(tLx浙江大学数学系24为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件)()0,(xxu)()0,(xxtu或者边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合)(),(),(),0(thtLutgtu)(),(0thxuTtgxuTLxx浙江大学数学系25四.二阶线性方程的分类两个自变量情形0222222122211cuyubxuayuayxuaxua主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。),(),(yxyx非奇异0yxyx（1）浙江大学数学系26),(),(yxyx),(yxu),(u复合求导xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(浙江大学数学系270222222122211cuyubxuayuayxuaxua0222222122211CuuBuAuAuAuA系数之间的关系2221221111)(2)(yayxaxaA2221221122)(2)(yayxaxaAyyayxyxaxxaA22121112)(（2）（1）（3）浙江大学数学系280)(2)(22212211yzayzxzaxza考虑如若能找到两个相互独立的解),(yxz),(yxz那么就作变换),(),(yxyx从而有02211AA（4）浙江大学数学系29两个引理0)(2)(22212211yzayzxzaxza引理1.假设是方程),(yxz的特解，则关系式是常微分方程（4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（5）的一般积分。引理2.Cyx),(假设是常微分方程（5）的一般积分，则函数),(yxz是（4）的特解。浙江大学数学系30由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。0)(2)(22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（6）浙江大学数学系31记2211212),(aaayx定义方程(1)在点M处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx浙江大学数学系32双曲型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异的实函数它们的一般积分为,),(CyxCyx),(),(),(yxyx由此令，方程（1）可改写为),,,,(2uuuu双曲型方程的第一标准型ts12222tusu双曲型方程的第二标准型浙江大学数学系33抛物型PDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此得到一般积分为,),(Cyx),(),(yxyx由此令，其中),(yx),(yx与独立的任意函数。浙江大学数学系34由于0),(yx221112aaa2221221111)(2)(yayxaxaA022211yaxayyayxyxaxxaA22121112)(022112211yaxayaxa由此推出浙江大学数学系35因此，方程（1）可改写为),,,,(22uuuu抛物型方程的标准型0)(2)(2221221122yayxaxaA而浙江大学数学系36椭圆型PDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为,),(CyxCyx),(*其中),(),(),(21yxiyxyx),(),(),(21*yxiyxyx浙江大学数学系37),(),(21yxyx由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）i0))(()()(2))((22212211yiayixiaxia0122211iAAA0,0122211AAA2222uu椭圆型方程的标准型浙江大学数学系38总结0)()(x,yI0)()(x,yII0)()(x,yIII（双曲型PDE）（抛物型PDE）（椭圆型PDE）yxu22222yuxu或22xu2222yuxu浙江大学数学系39例10222yyxyxxuyxyuux0)()(222yxxy