第三章 大变形运动学与连续介质力学(2)

§3.2.4变形率与应变速率张量1．速度梯度及其分解'P质点相对于质点P的相对速度为：(,)(,)iiijjijjjdxxtxtdxxddυυxx，速度梯度张量（Euler速度梯度张量）：,iijijjlxgradυlυx，iijjdldxddυlx，则也可定义速度对物质坐标的梯度：,iiJJXGradυυX，速度梯度张量是非对称张量，可做如下分解：1111[()][()]()()2222TTTTυυυυυllllxxxxx1111()()()()2222jjiiiijjiijjijjijillllxxxxx变形率张量（rateofdeformationtensor）：旋转（旋率）张量（spintensor,continuumspin）：，1asymasym()2Tυwlllx11()()22jiijijjijiwllxx11()()22jiijijjijidllxx1symsym()2Tυdlllx，iijijijjldwxυldwx，则()iijijjddwdx()ddυdwx，,ˆˆcurlrotijkkjiijkjkieewυυee123123123ˆˆˆcurlrotxxxeeeυυ（2）参考构形中的变形率张量与旋转张量速度梯度张量l、变形率张量d及旋转张量w都是在现时构形中定义的，它们都和现时构形中的速度及其导数有关，通过变形梯度可将它们与参考构形联系起来FRU可得相对旋率张量：2．变形梯度及其行列式的物质导数物质变形梯度F的物质导数：空间变形梯度f=F-1的物质导数：变形梯度行列式|F|的物质导数：3333312112122121233112111()detlIJKIJKlIJKIJKIJKIJKIJKIJKxxxxxxxxxxxxeexXXXxXXXxXXXxXXXxxxexXXXxF,||||||kkkkdldtFFF刚体转动的变形率张量与旋转张量随体坐标随物体一起运动，因此，在任何时刻质点的随体坐标值都始终相同{}{}iixXˆˆˆˆˆˆˆ()()iijjjjiijjxxxxiexeeiee则：111213212223313233ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[]ˆˆˆˆˆˆijieieieβieieieieieie随体坐标系的变换矩阵：jijiijixxXTxβXcossin0sincos0001βTxFβXˆˆijjijiFie1TXfFβFx刚体转动动的变形梯度：1cossin0sincos0001Fcossin0sincos0001F速度梯度：变形率：旋转张量：3．应变速率张量（1）Green应变速率张量线元长度平方的变化率：222()()()()[()]22()TTTTTTTTTdddddsdSdsdddddddddtdtdtdtddddddxxxxυxxυυυxxxdxXFdFXxx2()22jiijijijIJIJxxddsddxdxddXdXdtXX线元ds的伸长率：()/jiijdxdxddsdsddtdsds（2）Almansi应变速率张量则：4．弹塑性变形的分解（1）加性分解（和分解，additivedecomposion）在小变形时通常把变形率分为弹性部分和塑性部分：epdddGreen应变率也可分为弹性部分和塑性部分：（2）乘性分解（multiplicativedecomposion）pzFX塑性变形梯度（plasticdeformationgradient）：exFz弹性变形梯度（elasticdeformationgradient）：epFFFepiiJiJJxzFFFzX，设想存在一个中间无应力和无弹性变形的构形，由X到x的弹塑变形设想为，由X到z的纯塑变形和由z到x的纯弹性变形变形速度梯度：*1sym()2Tepdllldd变形率张量分解为：*1asym()2Tepwlllww旋转张量分解为：§3.3应力张量及其变化率§3.3.1应力张量大变形时，变形前后物体的构形出现了重大差异——采用变形前的坐标系与变形后的坐标系描述平衡方程，有着本质的差别。平衡方程中的应力张量必须针对不同的坐标系重新定义（1）Cauchy应力()0limiidadttdan斜面上的应力：由微小四面体平衡条件得：ijijijjdtndanda()ijijijjtnnn()Tntσnσn，dan现时构形内有一有向面元dt面元上的作用力为（2）Lagrange应力（第一Piola-Kirchhoff应力）由微小四面体平衡条件得：iJiJdtNdA则()*iJiJtNN()*NtΣN，Ij称为拉格朗日（Lagrange）应力张量，也叫名义应力张量或第一类皮奥拉-克希荷夫（Piola-Kirchhoff）应力张量Lagrange应力张量兼有变形前的参考构形坐标和变形后的现时构形坐标，但是，是非对称张量()0*limiidAdttdAN（3）Kirchhoff应力（第二Piola-Kirchhoff应力）()00limlimjIIIdAdAjdtdTXTdAxdAN由微小四面体平衡条件得：IJIJdTSNdA()IJIJTTNN()NTSN则，IJS称为克希荷夫（Kirchhoff）应力张量，也叫伪应力张量或第二类皮奥拉-克希荷夫（Piola-Kirchhoff）应力张量Kirchhoff应力是对称张量,IIjIjjjXdTdtXdtx，1dddXTtFtx【例】一拉件，初始长度L，截面积为A，在外力P作用下变形后长为l，截面积为a取物质坐标系与空间坐标系重合在现时构形中从m-m处切开，截面上的内力P，应力矢量为：()//00nPaatP在初始构形中，则m-m对应M-M截面，内力矢量与现时构形中相同仍为PM-M截面的应力矢量为：()/*/00NPAAtP（4）应力张量之间的关系,,||||iLiLLiLindaXNdANdAxndaFf参考构形面元与现时构形面元之间的变换关系：Lagrange应力与Cauchy应力的关系：在现时构形中：jijidtnda在参考构形中：jIjIdtNdA||IijiijIIjIiXndaNdANdAxF于是有：1||||IIjijiiijIjIXxxXFF11||||ΣFFσσFFΣKirchhoff应力与Cauchy应力的关系：11||()||TTTTTSFFσFFFσFS第二Piola-Kirchhoff应力张量是对称张量IijiJIJjXndaSNdAxLagrange应力与Kirchhoff应力的关系：jIjIJJIIJIjjxSXXSxTTΣSFSΣF，或1||||JIIJijjijiijIJJIXXSxxxxSXXFF11||||||TTTSFFσFFfσfσFFSF于是有：，或§3.3.2应力率应力对时间的物质导数就是应力率，也称为应力速率（速度）或应力增率1.三种应力率之间的关系Lagrange应力率与其它二应力率的关系：Lagrange应力率与其它二应力率的关系：Cauchy应力率与其它二应力率的关系：2.与刚体旋转无关的应力增率大变形问题的本构方程是由应力率描述的，为真实地反映材料的力学行为，必须定义一种不受刚体转动影响的应力率刚体转动问题的变形梯度ωn刚体旋转的角速度矢量为：在t瞬时p点的速度为：υωxnxkklmlmenx，速度梯度：,kkmklmlmenx变形率：11()()022kmkmklmlmlklmkdenenxx11()()22kmkmklmlmlklklmlmkwenenenxx旋率：质点的运动规律：||ONcnxnX()ONcYXXnXnXn从而：cossincossinyYZYnY因为因此：()(1cos)cossinONcxynynXnXnX[(1cos)cossin](sin)iikikijkjkikijkjkxnnenXenX刚体旋转的变形梯度为：siniikikijkjkxFenX当0t时，变形梯度可近似为：ikikijkjikijkjikikFenentwt这就是刚体微小定轴转动情况下的变形梯度（1）焦曼应力率（Jaumannstressrate）合理的应力对时间的导数（应力率）必须是关于刚体转动具有不变性()()ijijttt()()()()ijkiljklikjlklikjlklttttFFttFFt()()()ijikjlklklikikjljlijikkjiljlttFFwtwtwtwt()()ijijijikkjiljltttwtwt取极限得到由于刚体转动产生的应变率：这就是焦曼应力增率（Jaumannstressrate，Jaumann-Nollstressrate）或共旋应力增率（co-rotationalstressrate）是对称张量（2）Kirchhoff应力的物质导数20jiijijdxx0iiiidddx1()2jiiijijjwxxx，，刚体运动时，Kirchhoff应力的物质速率为零，应力保持不变，是客观张量Lagrange应力的物质导数是非对称张量，而且与刚体转动有关此时有，§3.4大变形问题的基本方程§3.4.1空间描述与物质描述的平衡方程1.现时构形中用空间坐标描述的平衡方程应力是与变形相关的，在外载作用下变形体是在变形之后达到平衡的。用变形后现时构形的Cauchy应力表述平衡力程是很自然的现时构形（变形后）中：区域V0外力边界A0t，位移边界A0u，A0=A0t+A0u。p0i单位体积的体力载荷，q0i表面力载荷参考构形（变形前）中：区域V外力边界At，位移边界Au，A=At+A。pi单位体积的体力载荷，qi表面力载荷0ijjiiijjppxx平衡方程：在V内应力边界条件：ijjinq在At上2.参考构形中用物质坐标描述的平衡方程假定物质体元所受的体力载荷和边界上的物质面元所受的面力载荷在变形过程保持不变00iipdVpdV00iiqdAqdA，000ijjiiijjdVJpJpxdVx则：利用11,,||jijKKijKKixJxF可得用Lagrange应力表示的平衡方程00JiiJpX在V0内利用定义Lagrange应力使用的公式，有0ijjIjIndANdA可得用Lagrange应力表示的应力边界条件0IjIiNq在A0t上利用iJiJKKxSX可转换为Kirchhoff