全国大学生数学建模比赛论文中国人口预测模型

1中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。关键词：人口数量的变化人口指数模型Logistic模型灰度预测模型MATLABExcel2目录第一部分问题重述…………………………………………………………(3)第二部分问题分析…………………………………………………………(3)第三部分模型的假设………………………………………………………(3)第四部分定义与符号说明…………………………………………………(3)第五部分模型的建立与求解………………………………………………(3)5.1模型一……………………………………………………………………(3)5.2模型二……………………………………………………………………(8)5.3模型三……………………………………………………………….(12)第六部分对模型的评价……………………………………………………(14)第七部分参考文献…………………………………………………………(15)第八部分附表………………………………………………………………（15）3一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。二、模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。三、符号说明符号说明：由于符号较多，在以后的模型中具体给出四、问题分析人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成等各项人口指数全部测算出来。人口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数，鉴于我国人口问题已有多方面的研究，我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动，故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说，某时刻人口总量=人口基数+新生人口数—死亡人口数。五、模型的建立与求解5.1.模型一：指数增长模型[1]（一）、模型建立：记t时刻的人口数为()xt，当考察一个国家的人口时，()xt为一个人很大的整数。利用微积分这一数学工具，将()xt看作一个连续、可微函数。记初始时刻（0t）的人口为0X.假设人口增长率为常数r，即单位时间内()xt的增量等于r4乘以()xt。考虑到t到tt时间内人口的增量，显然有：()()xttrxtt（5.1.1）令0t，得到()xt满足微分方程0,(0)dxrxxxdt于是()Xt满足微分方程：0()()(0)dxtrxtdtxX（5.1.2）（二）、模型求解解微分方程（5.1.2）得：.()0()rttXtXe（5.1.3）表明：t时，(0)txr1982年人口自然增长率为1.1%，011.98504X为了能对比Malthus模型计算的长期值和实际值，取1982年~2005年数据[2]：表一：1994年-2005年全国人口数根据Malthus模型，用Matlab计算1994~2005各年的人口总数，程序：t=[1982:1:2005];t0=1982;x=10.1654*exp(0.014*(t-t0));x计算结果x=时间（年）198219831984198519861987人口（万人）101654103008104357105851107507109300时间（年）198819891990199119921993人口（万人）111026112704114333115823117171115817时间（年）199419951996199719981999人口（万人）119850121121122389123626124761125786时间（年）200020012002200320042005人口（万人）1267431276271284531292271299881306285Columns1through1110.165410.308710.454110.601410.750910.902511.056211.212111.370111.530411.6930Columns12through2211.857812.025012.194612.366512.540812.717612.896913.078813.263213.450113.6398Columns23through2413.832114.0271用Matlab软件将计算值与实际人口数进行对比：程序：t=[198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005];x=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171115817119850121121122389123626124761125786126743127627128453129227129988130628];plot(t,x);holdony=[101654103087104541106014107509109025110562112121113701115304116930118578120250121946123665125408127176128969130788132632134501136389138321140271];plot(t,y,'r*');legend('实际值','预测值');holdoffxlabel('年份');ylabel('总人口数');title('模型计算值与实际值对比');grid;6（图一）（三）、结果分析从1994年起在较短的一段时间内（1982-1995）用Malthus模型计算的值与实际人口数很接近，相对误差均在1%以下。后面的时期（1995-2005）相对误差较大，并且随着年份的增加计算差值越来越大。这表明此模型能够比较准确地计算短期内人口的数量。但长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是不断变化的。排除灾难，战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。为了使人口预测特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数的假设。用Malthus模型预测人口总量的相对误差程序：t=[198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005];x=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118017119850121121122389123626124761125786126743127627128453129227129988130628];7y=[101654103087104541106014107509109025110562112121113701115304116930118578120250121946123665125408127176128969130788132632134501136389138321140271];z=abs(y-x)./x;plot(t,z);xlabel('年份');ylabel('误差');title('计算值与实际值的相对误差');grid;（图二）（四）、预测程序：t=[2005:1:2030];t0=2005;x=13.0628*exp(0.006*(t-t0));x计算结果x=8Columns1through1113.062813.141413.220513.300113.380113.460613.541613.623113.705113.787613.8706Columns12through2213.954014.038014.122514.207514.293014.379014.465514.552614.640214.728314.8169Columns23through2614.906114.995815.086015.1768表二：全国未来25年历年底统计人口数预测值年份/年200520062007200820092010总人口/万人130628131414132205133001133801134606年份/年201120122013201420152016总人口/万人135416136231137051137876138706139540年份/年201720182019202020212022总人口/万人140380141225142075142930143790144655年份/年202320242025202620262028总人口/万人145526146402147283148169149061149958年份/年20292030总人口/万人1508601517685.2：模型二Logistic曲线预测模型[3]（一）、模型的建立假定第00t年的人口为(0)x，人口增长率为r，则第t年的人口为()(0)(1)txtxr（5.2.1）经过简单的数学变换，上面递推公式的通用项可以化为指数形式0()rtxtxe（5.2.2）假定变量连续，求导得到齐次方程()()dxtrxtdt（5.2.3）9考虑到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越大，即人口增长率r为人口总量()xt的减函数。因此对上式做出修改，加上一个表征环境约束因子的二次项2()qxt，从而得到二阶Bernoulli式齐次方程2()()()()()[1]mdxtxtrxtqxtrxtdtx（5.2.4）这里q为约束参数，/mxrq表示区域饱和人口即最大人口容量。该方程的初始条件和饱和条件分别为00(),()mxtxxtx。解之得到Logistic预测模型0()1(1)mrtmxxtxeX（5.2.5）（二）、模型求解用阻滞增长模型计算1982-2005年人口数量：Matlab程序：t=[198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005];t0=1982;Xm=36;X0=10.1654;r=0.015;y=Xm./(1+(Xm./X0-1)*exp(-r*(t-t0)))计算结果y=Columns1through1210.165410.275210.385710.496910.608810.721