2015-高教社杯全国大学生数学建模竞赛-C-题论文

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题论文月上柳梢头，人约黄昏后摘要“月上柳梢头，人约黄昏后”里面所提到的约会时间，就是月出与黄昏后同时出现的时间段。本文通过建立数学模型，并以北京为例,计算了北京的各参数值，与现实数据作比较来验证模型，再判断什么条件下会出现“月上柳梢头，人约黄昏后”这一现象，从而给出黄昏后的定义以及发生这一情景的条件。然后根据条件，利用Excel表格对哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、和乌鲁木齐这六个城市的经纬度、日落时间、月出时间、以及日落月出时间差等进行了计算和统计，通过分析比较，从而判断出各个城市地区能否出现“月上柳梢头，人约黄昏后”这一现象。关键词：地心天顶距，日落，月出，月亮高度，黄昏后问题重述“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论：1.定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”。根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。并根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性。2.根据所建立的模型，分析2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。根据模型判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间；如果不能，请给出原因。问题分析“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，释义：去年元宵夜之时，花市上灯光明亮如同白昼。佳人相约，在月上柳梢头之时，黄昏之后的情景。显然出现这一情景的时间比较短，否则佳人相约就没有了确切的时间，必会造成某一方长时间的空等。经过人们的长期观察，出现这一现象，必定是在太阳、月亮和地球三者共线之日，也就是只会发生在农历每月的十五日。然后根据这一现象以及我们的生活中的实际观察，做出适当的假设，经过计算，定义出“月上柳梢头”时月亮在空中的角度范围。再通过分析与计算，得出某地农历每月的日落与月出时间，看其交叉范围是否在定义的角度范围内，从而确定“月上柳梢头”、“人约黄昏后”这一现象发生的时间条件。再根据日落与月出时间的比较与分析，确定黄昏后的时间。通过建立数学模型，并对模型进行验证分析和修正，再根据现象发生的时间条件进而算出2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。通过对哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐这六个城市的经纬度，日落时间，月出时间的统计，再计算出日落月出的时间差以及月亮与地平面的夹角，从而判定这些城市是否会发生“月上柳梢头，人约黄昏后”的现象。模型假设1.假设柳树高度为5m，人距柳树的距离15米,人的身高为1.6m,根据三角函数和相似三角形基本数学知识求出月亮在空中的角度为12.77°。2.假设当时诗人是在现在的北京，假设当时的月亮与地平面的夹角是0°～20°。3.假设没有雾霾、台风以及各种天气因素的影响。4.假设把观测点当作一个理想的点来验算。5.假设云层对太阳光没有散射效应。符号说明h为太阳平黄经Ps为太阳近地点的平黄经为赤道夹角(黄赤交角)T表示儒略世纪数p为月亮在近地点的平黄经N为月亮升交点的平黄经为观测点的地方恒星时模型一的建立与求解我们观测到的太阳高度和方位角与太阳在天球中的坐标和观测点所处的位置有关。太阳在天球中的坐标是时间的函数。我们首先介绍计算太阳在天球中位置的基本单元——随时间变化的天文参数，然后介绍随天文参数变化的太阳坐标以及太阳相对于观测点的地心天顶距的计算方法。根据这些基本参数给出日落时刻、太阳高度的计算方法。天文参数1895年纽康姆给出某时刻太阳天文参数h，Ps、的计算公式。如下：2279.6966836000.768920.00030hTT23281.220831.1719020.004500.000003PsTTT232327'8.261''46.845''0.0059''0.00183''TTT其中，T表示儒略世纪数，由儒略日数计算，其计算公式为：245154536525JDT其中，JD为儒略日数，为自1900年1月0日12时起至计算时刻之间的天数。可从天文年历中查出，本文运用下列公式计算:设Y为给定年份，M为月份，D为该月日期（可以带小数）对格里高利历，有A=INT()100Y,2()4ABAINT,则(365.25*(Y4716))INT(30.6001*(M1))DB1524.52JDINT其中，第一项为所考虑年份，每年按365天计算，第二项为考虑闰年的情况，第三项考虑1900年1月0日的12个小时。太阳的坐标已知上述天文参数，可求出计算时刻太阳的黄经：0.033501*sin(h)0.000351*sin(2(h))ShPsPs0.000005*sin(3*(h))Ps因为太阳在黄道上，所以黄纬为零。由于天赤道、黄道和太阳所在的时圈构成直角三角形；其中直角就是天赤道和时圈的交角。根据球面正弦定律，这个三角形的边和角有如下关系：sin:sinsin:sin90s式中，为太阳赤纬；为按（3）式计算黄赤交角。上式可写为：sinsin*sins（1）（2）（3）（4）（6）（7）（5）（8）太阳相对于观测点的位置本研究采用观测点的地心天顶距来表示太阳在某时刻相对于某一点的位置，设观测点的经纬度、，则可由下式计算某时的地心天顶距：cossin*sin*sincos*cos*cossin*cos*sinsss其中为观测点的地方恒星时，由下式计算：(14)15180小算时刻（小时）太阳落下时刻的计算根据(9)式可求出某时刻太阳相对于某一点的地心天顶距。若地心天顶距为90，则该点在晨昏线上。因此，求解方程即可得到儒略世纪数T，然后转化为某天的时分秒，即可得到某天的太阳落山时间。求解日落时间经查询可知，北京的地理位置是东经116度24分，北纬39度54分，时区是东八区，将北京时间2015年11月7日代入模型计算，见附录一，可以算的北京的日落时间为：17.3572165434923时，即17:21，与我们实际查询到的当日北京的日落时间17:06基本吻合，见附录二，故该模型求解日落时间是比较精确的。假设作者欧阳修的创作时间是1999年，经网上资料查询这首诗是在元夜所作，即农历的正月十五左右，即3月1日，假设创作地点是北京。将数据代入该模型，见附录三，计算可得到：日落时间为：17.0406013165627时，即：17：02（9）（10）（11）模型二的建立与求解已知确定月亮位置的太阳参数表示如下：2279.6966836000.768920.00030hTT232327'8.261''46.845''0.0059''0.00183''TTT根据布朗在1919年给出计算月亮位置的天文参数s，p，N，其中s为月亮的平黄经，其角速度为每小时0.5490165，p为月亮在近地点的平黄经，其角速度为每小时0.0046418，N为月亮升交点的平黄经，其角速度为每小时0.0000020。其计算公式如下：23270.69668481267.890570.001980.000002sTTT23334.329564069.34030.010320.00001pTTT23259.183281934.142010.002080.00002NTTT月亮的坐标由以上的天文参数，便可求解出时刻月球的黄经m和黄纬m：0.089504*sin(sN)0.004897*sin(2*sp)0.004847*sin(p)mNN0.003024*sin(2*)shN0.109760*sin(sp)0.022236*sin(22*hp)0.011490*sin(2*(sh))ms0.003728*sin(2*s2*p)月球相对于观测点的位置用观测点的地心天顶距来表示月亮在某时刻相对于某一点的位置，设观测点的经纬度为和，则可由下式计算某时某地的地心天顶距：cossin*[sin*cos*sincos*sin]mmm（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）cos*[cos*cos*cos*sin*cos*cossin*sin]mmmmm其中为观测点的地方恒星时，可由以下式子来计算：11*15180小算时刻小时月出时刻的计算根据（19）式可求出某时刻月亮相对于某一点的地心天顶距。若地心天顶距为90，则该点为月出或月落的时刻。因此，只要求解以下方程即可：1sin*[sin*cos*sincos*sin]mmmcos*[cos*cos*cos*sin*cos*cossin*sin]mmmmm根据所得到的儒略世纪数，然后转化为某天的时分秒，即可得到某天的月球出升时间和落山时间。模型求解同样把时间1999年3月1日，地点是北京（东经116度24分，北纬39度54分）代入模型，见附录四，经计算求得月出时间为：16.4513879494116时，即16:27。显然，在某一地点某一个人的视角范围内，月亮从升起到落下是180度，用时12小时，则此时在该点的水平面上，月亮的角速度：18015/12whh由此可见“月上柳梢头，人约黄昏后”发生这一情景，月亮与水平线的夹角：*w日落时间-月出时间代入可知是8.838。刚好符合月上柳梢头的0～20，所以这个时间地点假设成立。经查询资料知，黄昏时候，月球高度十度左右，因此可知以上计算结果的正确性。并且，资料显示，黄昏后有确切的定义，即太阳入地十度。所以根据地心天顶距，代入模型一，可以算出1999年3月1日北京黄昏后的时间为：17.3588536507063时，即17:21.并将其代入（22）、（23）式，算的月亮与水平（19）（20）（21）（22）（23）线的夹角为：13.6°，这与假设一基本吻合，所以该定义是十分准确的，即黄昏后为太阳入地十度。现设Rl为日落时间，Yc为月出时间，则*wRlYc。又因为出现“月上柳梢头，人约黄昏后”这一现象，月亮与水平线的夹角得在0～20之间，即0*20wRlYc，也就是：200,15RlYc。针对问题二，要计算2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间，以及判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？只需要算出各地区农历每月十五日的日落月出时间，并检验是否满足（24）式，倘若满足，则会发生这一情景，否则，将不会出现“月上柳梢头，人约黄昏后”这一现象。模型的验算及预测运用模型可以计算出2016年北京地区农历每月十五的日落月出时间（见附录五），并将日落与月出的时间差随月份的变化可做出以下折线图：北京-3.99-2.66-1.3301.332.66123456789101112月份日落-日出由图像可以看出，只有在6月19日和7月18日北京日落月出的时间差才满足（24）式，即为2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。同时，我们还可以通过模型，计算出2016年哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐各地区的日落时间、月出时间、以及它们的时间差（见附录六），（24）并将其均做成了以下折线图：哈尔滨-5.32-3.99-2.66-1.3301.332.66123456789101112月份日落-月出上海-3.99-2.66-1.3301.33123456789101112月份日落-月出广州-2.66-1.3301.332.66123456789101112月份