高考总复习――第二章 函数、导数及其应用

第一节函数及其表示[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解构成函数的要素，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.考查方式多为选择题或填空题．2.函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如(理)2012年新课标全国T10等．(文)2011年湖南T16等．3.分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如2012年江西T3，(文)2012福建T9等.[归纳·知识整合]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射[探究]1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列四个命题，正确的有()①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(x)＝x－4＋1－x；③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由函数的定义知①正确；②错误；由x－4≥0，1－x≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0，的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有()①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．3．(文)(2012·江西高考)设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f(f(3))＝()A.15B．3C.23D.139解析：选D∵f(3)＝23，∴f(f(3))＝232＋1＝139.3．(理)(2012·江西高考)若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0解析：选Bf(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x＋2x－6，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.解析：∵f(x)＝x＋2x－6，∴f(4)＝4＋24－6＝－3.∴f(f(4))＝f(－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f(a)＝2，即a＋2a－6＝2，解得a＝14.答案：19145．(教材习题改编)A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素32相对应的A中的元素是________．解析：∵cos60°＝12，∴与A中元素60°相对应的B中的元素是12.又∵cos30°＝32，∴与B中元素32相对应的A中的元素是30°.答案：1230°函数与映射的概念[例1]有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1，x≥0－1，x0表示同一个函数．(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个．(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．[自主解答]对于(1)，函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝1x≠0，－1x0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．[答案](2)(3)———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？①f1：y＝xx；f2：y＝1.②f1：y＝1，x≤1，2，1x2，3，x≥2；f2：xx≤11＜x＜2x≥2y123③f1：y＝2x；f2：如图所示．解：①不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定义域为R.②同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．③同一函数．理由同②.(2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()A．k1B．k≥1C．k1D．k≤1解析：选A由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．所以Δ＝4(1－k)0，解得k1时满足题意.求函数的解析式[例2](1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)．[自主解答](1)法一：(换元法)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.法二：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9.由恒等式性质，得2a＝2，3a＋2b＝9，解得a＝1，b＝3.∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.若将本例(1)中“f(x＋1)＝x2＋4x＋1”改为“f2x＋1＝lgx”，如何求解？解：令2x＋1＝t，∵x0，∴t1且x＝2t－1.∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．2．给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．解：(1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又∵f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴4a＝4，4a＋2b＝2，解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋3.分段函数求值[例3](文)(2012·福建高考)设f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则f(g(π))的值为()A．1B．0C．－1D．π(理)已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x4，则f(2＋log23)的值为()A.124B.112C.16D.13[解析](文)∵g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0，∴f(g(π))＝0.(理)∵2＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18×12log23＝18×13＝124.[答案](文)B(理)A———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C．2D．9解析：选C∵x1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(