5 场论和路论的关系

§5.1引言一位合格的电子或电机工程师应该兼备电磁场理论和电路理论的知识。电路，即使相当复杂的电路，对于多数电子工程师来说，仍是较易理解和熟悉的。电路网络的综合与分析、电路的计算机优化技术和数字电路技术的广泛应用，充分显示出电路理论的重要性。但是由于人们对经典电路理论的实用性印象极深，而电磁场理论却相对比较抽象，以至于人们有时竟不知不觉将电路理论和电磁场理论割裂开来，认识不到两者的内在联系。本章的目的是建立场论和路论之间的统一关系，强调场论的普遍性，旨在证明，在电路尺寸远小于工作波长时，路论是可以由麦克斯韦方程组导出的近似理论。在电路理论中，电压U和电流I是两个基本的物理量，电阻R、电感L和电容C是重要的电路参数。根据电路理论，在分析复杂的电路系统时，总是先采用理想的模型，把实际电路看成是由理想的电阻R、电感L和电容C组成的，把电路的电阻全部集中在R上，电感全部集中在L上，等等。就是说，电阻只是耗能元件,磁能只储存在电感中，而电能只储存在电容中，同时假设连接R、L和C的导线是理想的，其阻抗为零。在此假设基础上，应用克希荷夫定律和其他电路定律求解大多数直流和低频电磁问题，可以得到令人满意的结果。某些射频电磁问题，如传输线，在引入分布参数电路概念后，仍可使用电路理论进行研究。电路理论容易为人理解接受，应用方便，好像无需场论的介入，其实不然，本章将给予说明。在场论中，电场强度E、电位移矢量D、磁感应强度B和磁场强度H是四个重要的场量，而有关媒质的参数为电导率、磁导率及介电常数。后面几节的讨论将表明，它们和电路参数存在一定的对应关系。应用麦克斯韦方程组，可以对所有宏观电磁现象做出解释，例如，电小尺寸元件中的场具有准静态性质，尽管电场和磁场是时变场，但其空间分布仍具有静态场的特性。实际上电路参数R、L和C是完全可以根据场论算出的。仅这一点就说明路论和场论是不可分割的。§5.2电阻5.2.1欧姆定律欧姆定律是电路的基本定律之一。它反映电阻R两端电压U和流经电阻的电流I的关系，即UIR(5.1)式中电阻R表示消耗电能的理想电路元件。电阻的单位为欧姆()。欧姆定律只是在线性、各向同性媒质的假设下才成立。欧姆定律只给出电路中的积分结果，不涉及电流在电阻元件中的分布情况，也不涉及元件中各点电场强度的大小和方向，以及电阻元件的形状、大小或种类，例如阻值为R欧姆的电阻可由一段尺寸均匀的直导线构成，也可以由形状不规则的导体构成；可以为炭膜电阻，也可以为金属膜电阻，等等。描述它们电路特性的都是方程(5.1)。这个方程简单明了而又实用。根据场论，在第三章中我们已得到一个和导电媒质特性有关的物态方程，即JE(5.2a)式(5.2a)称为欧姆定律的微分形式，式中J为电流密度，为媒质的电导率，E为电场强度。J和E都是矢量，对于线性各向同性媒质，J和E的方向一致。式(5.2a)中的电流场可以是均匀的，也可以是不均匀的。式(5.2a)亦可写为1EJJ==(5.2b)式中称为导电媒质的电阻率，单位为欧姆•米(•m)。尽管式(5.2)不如式(5.1)那样直观易懂，但微分形式的欧姆定律却反映导电媒质中每一点的性质，因此具备更精细、更普遍的特点。下面证明欧姆定律式(5.1)可由微分形式的欧姆定律式(5.2)导出。为简单起见，在直流电路中取一段均匀导体，其长度为l，截面积为S，如图5.1所示。图5.1也可以看成均匀电流场中取出的一段长为l，截面积为S的电流管，端面与电流线正交，导体两端面为等位面，则两端面间电压降为图5.1一段均匀直导体中的电流dlUEl(5.3a)将式(5.2b)代入式(5.3a)得ddlllUJlIS对于均匀直导体，上式积分得lUIS(5.3b)比较式(5.3b)和式(5.1)得lRS(5.4)R为均匀直导体的电阻。由此可见，在场论基础上，可以导出欧姆定律式(5.1)。5.2.2焦耳定律在一段含有电阻R的电路中，计算损耗功率的关系式为PUI(5.5a)或2PIR(5.5b)通常式(5.5)称为焦耳定律，适用于稳态和似稳态电路。式(5.5)也可根据场论推导出来。导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化为热能称为功率损耗。设电子电荷e在电场力作用下移动距离l，则电场力做功为WeEl(5.6)相应的功率为ddWpeEvt(5.7)式中v为电子漂移速度，体积元dV中全部自由电子的损耗功率为d()dePpENeqvV式中N为单位体积中的电子数；由第三章可知eNev为传导电流密度cJ，于是ddcPEJV或ddcPEJV(5.8a)因cJE=所以2ddPEV(5.8b)式(5.8)是恒定电场的功率密度关系式，也是焦耳定律的微分形式，表示单位体积中损耗的电功率。在体积为V的一段导体中，总的损耗功率为dcVPEJV(5.9)对于一段均匀直导体的情况，(如图5.1),令dddVlS，dl和电流线一致，dS和电流线垂直，则dddVlSPEJVElJSUI所得结果和(5.5a)式一致。这又一次反映了场论和路论的统一关系。5.2.3电阻的计算均匀直导线的电阻计算公式(5.4)是简单的，但当导电媒质(即导体)的形状不规则时，电流密度的分布将是不均匀的。在这种情况下，需要用积分方法计算电阻。如图5.2所示，设和电流线垂直的两个端面为等位面，两端面之间的电压降为dlUEl式中的积分路径规定由低电位到高电位。这和电位梯度的定义是一致的。通过任意横截面S的电流为ddcSSIJSES根据定义可得到两端面间导电媒质的电阻R为图5.2不规则形状的导体ddlSElURIES(5.10)【例5-1】有一扇形导体，电导率为，厚度为d，圆弧半径分别为1r和2r，两侧平面的夹角为，如图5.3所示。求:(1)沿厚度方向的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)两侧平面间的电阻。解(1)上下扇面分别为等位面，其中电场为均匀场，设该电场为0E，上下底面间的电压为0UEd上下面间的电流密度为0CJE于是总电流为22021()2CErrIJS厚度方向的电阻为22212()UdRIrr(2)两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向流过的电流为I，则其间任意弧面S上的电流密度为CrrIIJaaSdr又因为CJE图5.3扇形导体的电阻所以其间电场为rIEadr两弧面之间的电压为221121ddlnrrrrrIIUElrdrdr于是电阻为211lnrURIdr(3)两侧面分别为等位面，其中电场与r有关，与无关，设两侧面间电压为U，则0()d()UErrErr得电场()UErr电流密度为CUJEar=电流为21201dddlndrCrrUdUIJSrzrr两侧平面间的电阻为21lnURIdrr§5.3电容5.3.1双导体的电容电容是电路理论中重要的电路参数。电容器则是重要的电路元件，在路论中它也是一种理想元件。根据定义，孤立导体的电容C为QC式中Q为导体所带的电荷量，为导体的电位。其实孤立导体的电容是指该导体与无穷远处的另一导体间的电容。电容的概念也是以场论为基础引出的。电容的单位为法拉，用F表示，工程上实用的电容单位为微法(610法)，用F表示，以及皮法(1210法),用pF表示。由两个导体组成的系统的电容为QCU(5.11)式中Q为带正电导体的电荷量，U为两导体间的电压。根据高斯定律dSQES式中S为包围带正电导体的曲面，为导体周围媒质的介电常数。正负极性导体间的电压为单位正电荷由负导体运动到正导体时，外力对正电荷所做的功，即dlUEl于是式(5.11)可表示成ddSlESCEl(5.12)由上式可见，欲计算两导体间的电容C，必须求出其间的电场E。电容C由电量Q和电压U的比值定义，对于线性媒质的情况，C和导体系统的Q及U本身的大小无关。这是因为，如果导体的电荷量增大N倍，电场强度也增大N倍，其比值保持不变，导体系统电容的大小只和导体的几何尺寸和形状及其周围媒质的介电常数等因素有关。【例5-2】如图5.4所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位于xoz平面，另一极板和xoz面成角，电容器高为h，径向尺寸21rrr，内部填充介质的介电常数为，求电容。解忽略边缘效应，由边界条件判断，则极板间电场E图5.4径向极板的电容与r有关，与无关，()EEra设两极板间电压为U0d()d()lUElErrErr则()UErr①在0的极板处，根据电场边界条件SnnDE②由式①和式②得SUr在极板上总电荷为21201dddlnhrSSrrUUhQSrzrr③所以电容为21lnrQhCUr④【例5-3】一无限长同轴电缆的内外半径分别为a和b，其间填充介电常数为的介质，如图5.5所示。求同轴电缆单位长度的电容。解设内导体单位长度带电量为Q，电荷将均匀分布在导体表面上，内外导体间的电场具有轴对称性，在内外导体之间取单位长度的闭合柱面，在该闭合面上应用高斯定律dDSQ即1200dd2ErzErQ所以2rQEarab图5.5同轴电缆截面图内外导体间的电压为dln2braQbUEraa同轴线单位长度电容为2lnQCUba5.3.2部分电容对三个以上导体组成的系统，电容概念需要进行扩充，如图5.6所示。若在一平行板电容器中置入一金属球，由于静电感应，面对正极板的一侧带负电，而面对负极板的一侧带正电，其结果将使平板电容器正负两极板间的电位差变小，而极板上总电荷量仍维持不变。这样导致了平行板间的总电容C增大。1323121323CCCCCC式中12C、13C和23C称为导体系统的部分电容，其等效电路如图5.7所示。由n个导体组成的系统，若分布在地面上空，可令地电位为零，如图5.8所示。每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上的电荷必然会影响周围空间电场的分布。由于电位与电荷存在线性关系，利用叠加原理可以写出各带电导体的电位与各导体上电荷的关系。1111122133122112222332112233nnnnnnnnnnnpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpq(5.13)式中ijp为常数，称为电位系数，其大小与导体系统的几何参数有关。图5.6含金属球的平行板电容器图5.7三导体系统的等效电路将式(5.13）用矩阵表示为1122nnqqPq(5.14)式中P为电位系数矩阵。式(5.14)可改写为1122nnqqq(5.15)式中为电容系数矩阵，显然1P。可以证明，电位系数和电容系数均具有互易性，即ijjipp，ijji(5.16)令ijijc(5.17)123iiiiiinC(5.18)进行适当变换后，式(5.15)可变为以iiC和ijC表示的关系式，即111112121122121222221122()()()()()()nnnnnnnnnnnnqCCCqCCCqCCC(5.19)式中iiC代表第i个导体自身的电容，被称为自电容，即第i个导体与大地（或无穷远处）之间的电容。而ijjiCC代表第i和第j个导体间的电容，被称为互电容，自电容与互电容统称为部分电容。可见，所有导体与大地之间以及任意两个导体之间都存在着部分电容。对于由n个导体组成的系统，部分电容的总数为(1)2nn。电路中常用的电容器