2016高考数学理科二轮复习课件：专题3第一讲 等差数列与等比数列

随堂讲义专题三数列第一讲等差数列与等比数列1．对等差、等比数列基本量的考查是重点内容，常以选择题或填空题的形式出现．考查运用通项公式，前n项和公式建立方程组求解，为简单题．2．对等差、等比数列性质的考查是热点，主要以选择题或填空题的形式出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，为中挡题．3．等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，为中挡题．例1已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an.(2)设cn＝5－an2，bn＝2cn，求T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn的值．解析：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，得a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解得a1＝3，d＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)∵an＝－2n＋5，∴cn＝5－an2＝5－（－2n＋5）2＝n.∴bn＝2cn＝2n.∴T＝log2b1＋log2b2＋log2b3＋…＋log2bn＝log22＋log222＋log223＋…＋log22n＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.(1)涉及等差数列的有关问题往往用待定系数法“知三求二”进行解决．(2)等差数列前n项和的最值问题，经常转化为求二次函数的最值，有时利用数列的单调性(d＞0，递增；d＜0，递减)．(3)等差数列的性质：设m，n，p，q为非零自然数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.1．已知等比数列{an}，满足a3＝12，a8＝，记其前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若Sn＝93，求n.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2＝12，a8＝a1q7＝38，解得a1＝48，q＝12.∴an＝a1qn－1＝48·12n－1.(2)Sn＝a1（1－qn）1－q＝481－12n1－12＝961－12n.由Sn＝93，得961－12n＝93.解得n＝5.例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．思路点拨：(1)只需证明an＋1－（n＋1）·2nan－n·2n－1为非零常数即可，或转化为an＋1－(n＋1)·2n＝(an－n·2n－1)q，q为非零常数．(2)当b＝2时，由(1)可求出{an－n·2n－1}的通项公式，从而得到{an}的通项公式；当b≠2时，构造新数列，求其通项公式．解析：(1)∵ban－2n＝(b－1)Sn，令n＝1得ba1－2＝(b－1)a1，∴a1＝2.又∵ban－2n＝(b－1)Sn，①∴ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1.②②－①得：ban＋1－ban－2n＝(b－1)an＋1.即an＋1＝ban＋2n.③当b＝2时，由③得an＋1＝2an＋2n，∴an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)．即an＋1－（n＋1）·2nan－n·2n－1＝2.又∵a1－1·21－1＝1≠0，∴{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b＝2时，由(1)知，an－n·2n－1＝2n－1，∴an＝(n＋1)·2n－1.当b≠2时，由③知：an＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b·2n2－b＝ban－12－b2n.∴an－12－b·2n＝a1－22－b·bn－1＝2（1－b）2－bbn－1.∴an＝12－b[2n＋(2－2b)bn－1]．∵a1＝2适合上式，∴an＝12－b[2n＋(2－2b)bn－1]．综上知an＝（n＋1）·2n－1，b＝2，12－b[2n＋（2－2b）bn－1]，b≠2.(1)证明数列{an}为等比数列有如下方法：①证明an＋1an＝q(与n值无关的非零常数)．②a2n＝an－1·an＋1(等比中项)(n≥2，n∈N)．(2)已知an＋1＝Aan＋B(A，B为常数)求{an}的通项时，用构造数列法．即设an＋1－c＝A(an－c)，先求出c值c＝B1－A，再求an－c的通项，从而求出an的通项．2．等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)若数列{bn}满足bn＝1（n＋2）log3an＋12，记数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜34.(1)解析：当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.(2)证明：因为bn＝1（n＋2）log3an＋12＝1n（n＋2），所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n×（n＋2）＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＜34故原不等式成立．例3(2014·重庆卷)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.思路点拨：(1)已知等差数列的首项和公差，可直接利用公式an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋n（n－1）2d求解．(2)利用(1)的结果求出a4，S4，解方程q2－(a4＋1)q＋S4＝0得出等比数列{bn}的公比q的值，从而可直接由公式bn＝b1·qn－1，Tn＝nb1，q＝1，b1（1－qn）1－q，q≠1，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n（a1＋an）2＝n（1＋2n－1）2＝n2.(2)由(1)得，a4＝7，S4＝16.因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又因b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝b1（1－qn）1－q＝23(4n－1)．已知等差数列中的某几项成等比数列(或已知等比数列中的某几项成等差数列)，往往是先设公差为d(或公比为q)，用待定系数法求出d(或q)与首项之间的关系，进而再解决问题．3．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.分析：(1)设{an}的公比为q，依题意得方程组a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3，即可写出通项公式．(2)因为bn＝log3an＝n－1，利用等差数列的求和公式即得．解析：(1)设{an}的公比为q，依题意得：a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3，因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（b1＋bn）2＝n2－n2.1．等差数列和等比数列的前n项和公式中n表示项数．2．若等比数列的公比q用参数表示，注意要分q＝1和q≠1进行讨论．3．方程的观点是解决“知三求二”运算题中最基本的数学思想和方法．4．证明三个实数a，b，c成等差数列时，常证2b＝a＋c，反之亦然；证明三个实数a，b，c成等比数列时，常证b2＝ac，但反之不成立．5．已知三个实数成等差数列时，常设三个实数依次为a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；已知三个实数成等比数列时，常设三个实数依次是aq，a，aq或a，aq，aq2.6．判定一个数列是等差数列的常用方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．7．判定一个数列是等比数列的常用方法有：(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．8．对于任一数列{an}，其通项an和它的前n项和Sn之间的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，这是求数列通项的一种重要方法．