高一数学集合

1一、集合⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。2.表示方法：集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。例：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷某校2011级新生；⑸血压很高的人；例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。练：A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.7.集合的分类观察下列三个集合的元素个数1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xR∣0x3};3.{xR∣x2+1=0}由此可以得到集合的分类:::()emptyset有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合例1．用“∈”或“”符号填空：⑴8N；⑵0N；⑶-3Z；⑷2Q；2例2．已知集合P的元素为21,,3mmm,若2∈P且-1P，求实数m的值。练：1给出下面四个关系:3R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:()A．4个B．3个C．2个D．1个2求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?3若t1t1{t},求t的值.4、已知集合A=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。a=-325、已知集合A=｛1，0，x｝,又x2∈A，求出x之值。(解：x=-1)6、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈A，求出a之值。（解：a=0)二、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：3(1)小于5的正奇数组成的集合；(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程2xx的所有实数根组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：()xApx如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x2-x-20的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)方程220x的所有实数根组成的集合(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。例1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数例2．集合A＝{x|43x∈Z，x∈N}，则它的元素是。1.判断下列两组集合是否相等？（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};(2)A={自然数}与B={正整数}2、已知集合B=｛x|ax2-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a的取值范围。（解：a=0或a≥9/8)43、已知集合M=｛x∈N|61+x∈Z｝，求出集合M。（解：M=｛0，1，2，5｝4、已知集合N=｛61+x∈Z|x∈N｝，求出集合N。（解：N=｛1，2，3，6｝三、集合间的关系⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：()ABBA或读作：A包含于B，或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：2.真子集定义：若集合AB，但存在元素,xBxA且，则称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）3.集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若ABBA且，则AB。如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空：0；0；{}；0{}5.几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。练习⑴2N；{2}N；A;⑵已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x8,x∈N}，则AB；AC；{2}C；2C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1）{1,3,5}A，{2,4,6},1,2,3,4,5,6BC；5（2）{}Axx是有理数，{},BxxCxx是无理数是实数；例1、已知集合P=｛x|x2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有PQ，求实数b的取值范围。解：{b|1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。例2设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（B）A．10B．11C．12D．13例题3记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围．解：（I）由，得．（II）．由，得，又，所以，即的取值范围是．课堂练习：1、已知集合A=｛2，8，a｝,B=｛2，a2-3a+4｝,又AB，求出a之值。(解：a=-1或4)2、已知集合A=｛x|-3≤x≤4｝B=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当BA时，求出m之取值范围。（解：m≥-1)特别注意：当BA时，B一定包括有两种情形：B=或B≠，解题时极易漏掉B=这一情况从而出错！{123456}M，，，，，12kSSS，，...，M{}iiiSab，{}jjjSab，ij{123}ijk、，，，，minminjjiiiijjababbaba，，min{}xy，xy，kx01xaxP11x≤Q3aPQPa301xx13Pxx1102Qxxxx≤≤≤0a1PxxaQP2aa(2)，6四、集合的基本运算1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，即A与B的所有部分，记作A∪B，读作：A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}。Venn图表示：2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），记作：A∩B读作：A交B即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}Venn图表示：常见的五种交集的情况：说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3.全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集,记作：UCA，读作：A在U中的补集，即,UCAxxUxA且Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）说明：补集的概念必须要有全集的限制例：已知全集,，则A．B．C．D．练习1、已知集合，.求分别满足下列条件的的取值范围.(Ⅰ)；(Ⅱ).AUCUAABA(B)ABABA（阴影部分即为A与B的交集）72、设全集是实数集，，（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围。3、已知集合．（1）求；（2）备用练习1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是.①、3A且3B；②、3A且3B；③、3A且3B；④、3A且3B。2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠，则k的取值范围是3、已知全集UZ，2{1,0,1,2},{|}ABxxx，则UACB为4、设abR，，集合10bababa，，，，，则ba85、已知集合|1Axxa≤，2540Bxxx≥．若AB，则实数a的取值范围是6、设集合xxxA且30{N}的真子集．．．的个数是7、以下六个关系式：00，0，Q3.0,N0,,,abba，2|20,xxxZ是空集中，错误的个数是8、若}4,3,2,2{A，},|{2AttxxB，用列举法表示B课后作业1、已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁UB=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}2、已知集合，则（）A、B、C、D、3、集合,,若,则的值为()A.0B.1C.2D.44、已知集合，，则为A．B．C．D．95、记全集则图中阴影部分所表示的集合是（）A、B、C、D、6、设集合M={－