解三角形复习课

解三角形知识点梳理;sin2,sin2sin2(1)CRcBRbARa，;2sin,2sinB,2sin).3(RcCRbRaA;sin:sin:sin::).2(CBAcba;sinsin,sinsin,sinsin).4(AaCcCcBbBbAa)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAa1.正弦定理正弦定理的变形：.2acosC;2cosB;2cos222222222abcbacbcabcacbACabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos22222222222.余弦定理余弦定理的变形：222222222;;90baccabcbaCBA化为时，上面的关系式分别分别为、、当3.三角形面积公式)(21)1(边上的高表示ahahSaaAbcBacCabSsin21sin21sin21)2(4.三角形中的常见结论CBA)1(2cot2tan;2sin2cos;2cos2sin;tan)tan(;cos)cos(;sin)sin(CBACBACBACBACBACBA(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式.sinsin)6(BAbaBAABC中，在ABC是三角形的内角则有、若或sinsin)7((5)中，A、B、C成等差数列的充要条件是B=60（8）在△ABC中，三边分别为a，b，c(abc)(1)若a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形．(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．(3)若a2＋b2c2，则△ABC为钝角三角形.解三角形正余弦推论的应用三角形解的个数的确定求三角形中基本量判断三角形形状解三角形的实际应用求角求边求面积测量距离测量高度测量角度解三角形中的交汇问题.,45,2,3.1cBbaABC求边中，已知在例22645sin15sin2sinsin1512022645sin75sin2sinsin756012060,,23245sin3sinsinsinsin)(BCbcCABCbcCAAABabbBaABbAa时，当时，当或又用正弦定理解：方法一解三角形点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法二比较简便。22601645cos3232cos222222ccccBaccab解之，得即用余弦定理方法二150,20,183;30,22,112;45,32,221AbaAbaAba）（）（）（无解无解。ABCBABab,95182120absinAsinB)3(有两解或解法一：ABCBABabaAbB323,23222232sinsin)1(练习.根据下列条件，判定三角形解的情况.2BABab1112122absinAinB)2(有一解，ABCs有两解解得解法二ABCcccccAbccba26.046245cos3223222)1(cos2:2222222有一解解得ABCccccc311.036332230cos2222211)2(2222无解解得ABCccccc0114310114310.076320150cos2022081)3(22226340.634.6.340.,,34,60.2aaDaaCaBaAabAABC或或）满足的条件是（一个为使此三角形只有中，已知例c点评：可通过正弦定理或几何作图很容易看出三角形有一个解的情况有两种。这些有些同学容易出现误区，直接令关于C的一元二次方程有一解，很容易少考虑ab的情况，以后做题时要注意。范围是的取值则最大边中，钝角例,2,1.3cbaABC3535045452cos22222cccbaccCcabcbaC是最大角钝角解：由余弦定理得35c例4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于()A．33B.2393C.2633D.292解析S＝12bcsinA＝12×1×c×sin60°＝3，∴c＝4.∴a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝1＋16－2×1×4×12＝13，即a＝13，asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝1332＝2393，故选B.B四、判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的讨论主要题型已知边之间的关系已知角的三角函数关系已知边与角的关系例5.根据所给条件，判断的形状ABCBbAacoscos)1(CcBbAacoscoscos)2(解：角形是等腰三角形或直角三或即或者法一：根据正弦定理有ABCBABABABABABBAABbAaBbAa2180)(2222sin2sincossincossincoscossinsin)1(已知边与角之间的关系角形是等腰三角形或直角三或或法二：由余弦定理得ABCbacbabacbabacbabcbacaacbcabbcacbaBbAa000))((0)2()2(coscos2222222222222422422222222为等边三角形、、由正弦定理得法一：ABCCBACBACBACCBBAA),0(tantantancossincossincossin)2(总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出内角之间的关系来判断形状。是等边三角形法二：由余弦定理得ABCcbacbacbabcaacbcbaabcbcaacbacbbca)2()2()2(222222222222222222222练习1．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4bsinA，则cosB＝________.解析∵a＝4bsinA且△ABC为锐角三角形，∴sinA＝4·sinB·sinA.∴sinB＝14，∴cosB＝154.154解（1）由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，∴A＝π3.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试求（1）角A；（2）确定△ABC的形状．练习2（2）sinA＝2sinBcosC.∴a＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．五、解三角形中的交汇问题在知识交汇处命题是高考考查的热点，体现了多考一点“想”，少考一点“算”的理念，所以挖掘知识内的交汇是学习中的重点。解三角形与其它知识的交汇体现与向量、三角函数、三角变换、数列、、解析几何、立体几何等几个方面知识的结合。.,36,6B)2((1).13),1,1(),1,sin2(.6的值求为锐角，若角的大小；求角且向量是该三角形的面积，若边，所对的、、分别是角、、中，已知在例bSaBnmnBmSCBAcbaABC.32323sin131sin213)1(或得由解：BBBnm.7228282146216363cos24362321,36,6)2(222baccabcacSa由得由点评：此题结合向量、三角变换的知识同时运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向量与解三角形的结合是高考的重点，同时考察学生多方面的知识。六、解三角形在生活中的应用1.解三角形在生活中应用非常广泛,如测量、航海、物理几何等方面都要用到解三角形的知识.这些实际问题基本上分成测量长度、高度、角度三种类型.解三角形应用题得一般步骤及基本思路.(1)一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把一直亮与求解量尽量集中在有关的三角形总，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(2)基本思路：实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解抽象概括示意图演算推理还原说明2.实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）.铅垂线视线视线水平线仰角俯角④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从而得出实际问题的解.(2)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如B点的方位角为α（如下图①）(3)方向角①正南方向：从原点O出发的经过目标射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依次可类推正北方向、正东方向和正西方向.西东北南图①②东南方向：指经过目标的涉嫌是正东和正南的夹角平分线（如图②）.③北偏东α：从正北向正东方向旋转α角度（图③）④南偏西β：从正南向正西方向旋转β角度（图④）西东北南图④东南方向西东北南图②西东北南图③测量长度例16：某观测站C在城A的南偏西20度的方向（如图），由城出发的一条公路，走向是南偏东40度，在C处测得公路上B处有一人距C为31公里，正沿公路想A城走去，走了20公里后到达D处，此时CD间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A城？CBAD解：设这个人还要走x公里才能到达A实际问题数学模型抽象概括城。公里才能到达即这个人还要走中，由正弦定理在解得中，在AxACBxABCBACBBBCDB151560sin31sin2062335)120sin(sin3123coscos31202-312021222的长，求，，，中，在ADCDBDBCACBABC21203160测量高度例17：地平面上一旗杆OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB，AB=200m，在A处测得P点的仰角为30度，在B处测得P点的仰角是45度，又测得角AOB是60度，求旗杆的高h(精确到0.1m).BAPOh解：将实际问题转化成数学模型问题就归结为:hOPmABAOBOBPOAP长求,200,60,45,30..81328.13234200,60cos323200cos2,330cot902222222mhhhhAOBOBOAOBOAABOABhOPOBBOPhOPAOAOPAOP即旗杆的高度为解得中，由余弦定理得在中得同理在，中，在测量角度例18：如右图，当甲船位于A处时获悉，在其整栋方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30度，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1度）解：先将问题转化为数学模型ACBBACACABABC，求，，中，在1201020ABC处救援的方向直线前往故乙应朝北偏东由正弦定理得由余弦定理知BACBBACBACBCACBABBCACABACABBC71413041,721120sin71020sinsinsin710700)21(102021