04多目标规划方法

多目标规划方法Multi-objectiveProgramming2背景介绍在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。多目标规划及其求解技术简介目标规划方法多目标规划应用实例大纲1多目标规划及其非劣解多目标规划及其非劣解多目标规划求解技术简介5（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：一、多目标规划及其非劣解6一、多目标规划及其非劣解12max(min)()()max(min)()max(min)()kfXZFXfXfX1122()()()()mmXgXgXGXg12[,,,]TnXxxx（1.2）（1.1）式中：为决策变量向量。7一、多目标规划及其非劣解如果将（1.1）和（1.2）式进一步缩写，即：（1.3）（1.4）式中：是k维函数向量，k是目标函数的个数；是m维函数向量；是m维常数向量；m是约束方程的个数。max(min)()ZFX()XG()ZFX()XG8一、多目标规划及其非劣解对于线性多目标规划问题，（1.3）和（1.4）式可以进一步用矩阵表示：（1.5）（1.6）式中：为n维决策变量向量；为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；为m维的向量，约束向量。max(min)ZAXBXbXABb9对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。二、多目标规划的非劣解10非劣解：可以用图1.1说明。二、多目标规划的非劣解图1.1多目标规划的劣解与非劣解11在图1.1中，就方案①和②来说，①的目标值比②大，但其目标值比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。二、多目标规划的非劣解2f1f12当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。二、多目标规划的非劣解2多目标规划求解技术简介为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。一、效用最优化模型二、罚款模型三、约束模型四、目标规划模型五、目标达到法一、效用最优化模型建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：max()ZX()XG是与各目标函数相关的效用函数的和函数。（2.1）（2.2）在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸应满足：若采用向量与矩阵11kiimaxT()XG1maxkiii12(,,)(1,2,,)inixxxgim（2.3）（2.5）（2.6）（2.7）（2.4）二、罚款模型规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值与期望值之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：21min()kiiiiZaff12(,,,)(1,2,,)inixxxgimifif（2.8）（2.9）或写成矩阵形式：式中，是与第i个目标函数相关的权重；A是由组成的m×m对角矩阵。min()()TZFFAFF()XGia(1,2,,)iaik（2.10）（2.11）三、约束模型理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：采用矩阵可记为：1max(min)()ZfX()XGminmax111FFF112max(min)(,,,)nZfxxx12(,,,)(1,2,,)inixxxgimminmax(2,3,,)jjjfffjk（2.17）（2.16）（2.15）（2.14）（2.13）（2.12）四、目标规划模型也需要预先确定各个目标的期望值，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级，目标规划模型的数学形式为：if()LK式中：和分别表示与相应的、与相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；表示第l个优先级；、表示在同一优先级中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。11min()LKllkklkklkZpdd12(,,,)(1,2,,)inixxxgim(1,2,,)iiiifddfiK（2.18）（2.19）（2.20）ididif*iflplklklp五、目标达到法首先将多目标规划模型化为如下标准形式：12()()min()min()kfXfXFxfX12()0()0()()0mXXXX（2.21）（2.22）在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标,每一个目标对应的权重系数为，再设为一松弛因子。那么，多目标规划问题（2.21）～（2.22）就转化为：（2.23）（2.25）*(1,2,,)ifik(1,2,,)iwik,minX*()(1,2,,)iiifXwfik()0(1,2,,)jXjm（2.24）用目标达到法求解多目标规划的计算过程，可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见教材的配套光盘。3目标规划方法通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。本节主要内容：目标规划模型求解目标规划的单纯形方法一、目标规划模型（一）基本思想：给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。（二）目标规划的有关概念例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试问：如何确定其生产方案？如果决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，则这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求，，使而且满足：式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为（万元）12max810zxx（3.1）121212211210,0xxxxxx124,3,62xxZ（3.2）（3.3）（3.4）1x2x但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：①根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。④应尽可能达到并超过计划产值指标56元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。1.偏差变量在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量、。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有成立。目标规划模型的有关概念2、绝对约束和目标约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差，可加入正负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。目标规划模型的有关概念3.优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次或轻重缓急的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子，次位的目标赋予优先因子，……，并规定表示比有更大的优先权。这就是说，首先保证级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而级目标是在实现级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。目标规划模型的有关概念1(1,2,,)llpplL1p2p1lplp1p2p1p(1,2,,)lkkK1p4.目标函数目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是：基本形式有三种：a)要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即目标规划模型的有关概念min(,)Zfddmin(,)Zfdd（3.5）（3.6）b)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即c)要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。目标规划模型的有关概念（3.7）（3.8）min()Zfdmin()Zfd例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56元。并分别赋予这三个目标优先因子。试建立该问题的目标规划模型。123,,PPP解：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是1122233min()Zpdpddpd12211xx12110xxdd1222210xxdd123381056xxdd12,,,0(1,2,3)iixxddi（3.9）（3.10）（3.11）（3.12）（3.13）（3.14）假定有L个目标，K个优先级(K≤L)，n个变量。在同一优先级中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为、，则多目标规划问题可以表示为：kPklkl11min()KLkkllkllklZPdd()1(1,2,,)nljjllljcxddglL1(,)(1,2,,)nijjijaxbim0(1,2,,)jxjn,0(1,2,,)