极坐标与参数方程知识点总结

1第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换0,0,:yyxx的作用下,点yxP,对应到点yxP,,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图(1)所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对,叫做点M的极坐标,记作M,.一般地,不作特殊说明时,我们认为,0可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为R,0。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定20,0,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标,表示;同时,极坐标,表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是yx,,极坐标是0,,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标yx,极坐标,互化公式sincosyx0tan222xxyyx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程2圆心在极点,半径为r的圆20r圆心为0,r,半径为r的圆222r圆心为2,r,半径为r的圆0sin2r过极点,倾斜角为的直线(1)RR或(2)00或过点0,a,与极轴垂直的直线22cosa过点2,a,与极轴平行的直线0sina注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即,,,,2,,,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点4,4M可以表示为45,424,424,4MMM或或等多种形式,其中,只有4,4M的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数tgytfx①,并且对3于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点yxM,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数yx,的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数yx,中的一个与参数t的关系,例如tfx,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系tgy,那么tgytfx就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使yx,的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3．圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设Myx,，则为参数sincosryrx。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为ba,，半径为r的圆的普通方程是222rbyax，它的参数方程为：为参数sincosrbyrax。4．椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为012222babyax其参数方程为为参数sincosbyax，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是012222babxay其参数方程为为参数sincosaybx其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为2,0。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当20时，相应地也有20，在其他象限内类似。5．双曲线的参数方程4以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为0,012222babyax其参数方程为为参数tansecbyax，其中23,22,0且。焦点在y轴上的双曲线的标准方程是0,012222babxay其参数方程为为参数csccotaybx，其中且2.0以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线022ppxy的参数方程为为参数tptyptx2227．直线的参数方程经过点000,yxM，倾斜角为2的直线l的普通方程是00tanxxyy而过000,yxM，倾斜角为的直线l的参数方程为为参数ttyytxxsincos00。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000,yxM，倾斜角为的直线l的参数方程为为参数ttyytxxsincos00，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点yxM,为终点的有向线段MM0的数量，当点M在0M上方时，t＞0；当点M在0M下方时，t＜0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换yyxx//23:（1）求点2,31A经过变换所得的点A的坐标；（2）点B经过变换得到点1(3,)2B，求点B的坐标；5（3）求直线:6lyx经过变换后所得到直线的l方程；（4）求双曲线22:164yCx经过变换后所得到曲线C的焦点坐标。（二）极坐标与直角坐标的互化〖例2〗在极坐标系中，如果5(2,),(2,)44AB为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(0,02)。（三）求曲线的极坐标方程〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=3，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。（四）极坐标的应用〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程〖例〗已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为2t，Q为C上的动点，求中点到直线tytxC223:3（t为参数）距离的最小值。（二）椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值解答：6（三）直线参数方程的应用〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。解析：（四）圆的参数方程的应用〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B（1）求曲线C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长【感悟高考真题】1．在极坐标系中，点（2，3）到圆2cos的圆心的距离为()（A）2(B)249(C)219（D)32．在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）（A）(1,)2（B）(1,)2（C）(1,0)（D）(1,)3．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sin1cosyx,).(为参数在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为21,01)sin(cosCC与则的交点个数为______4．直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为sin3cos2yx).(为参数在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为21,01)sin(cosCC与则的交点个数为___75.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.6．（2011·陕西高考理科·T15C）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线1C：3cos4sinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线1C：3cossinxy（为参数）和曲线2C：1上，则||AB的最小值为．8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程为tytx882（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆()2224(0)xyrr-+=相切，则r=________.9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy≤＜和25()4xttRyt，它们的交点坐标为.10．（2）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x3cosysin（为参数）.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为2,4，判断点P与直线l位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.11.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxy（为参数）的右焦点，且与直线423xtyt（t为参数）平行的直线的普通方程。12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数）M是C1上的动点，P点满足2OPOMuuuvuuuv,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C28的异于极点的交点为B，求AB.13.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐