线性代数(理)综合复习资料

第1页共25页《线性代数（理）》综合复习资料第一章n阶行列式一、选择填空题：1、排列542163的逆序数为______________。2、行列式315412231中，元素4的代数余子式为。3、设行列式1112132122233132333aaaaaaaaa，则313233212223111213232323aaaaaaaaa。4、设行列式1112132122233132333aaaaaaaaa，则313233213122322333111213222222222222aaaaaaaaaaaa。5、n个方程、n个未知量的齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是。6、设,AB均为3阶方阵，且3,2AB，则2BAA。7、设,AB均为3阶方阵，且2,3AB，则13AB。8、已知多项式111213212223313233()axaxaxfxaxaxaxaxaxax，则()fx的最高次数是。9、设A为3阶矩阵且行列式0A，则下列说法正确的是（）（1）矩阵A中必有一列元素等于0；（2）矩阵A中必有两列元素对应成比例；（3）矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合；（4）矩阵A中任一列向量是其余列向量的线性组合。10、下列说法错误的是（）（1）若n阶线性方程组Axb的系数矩阵行列式0A，则该方程组存在唯一解；第2页共25页（2）若n阶线性方程组0Ax的系数矩阵行列式0A，则该方程组只有零解；（3）一个行列式交换两列，行列式值不变；（4）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。二、计算下列行列式1、1534131202115133D；2、14916491625916253616253649D3、2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbDccccdddd；4、123...103...120..............123...0nnnDn；5、122...2222...2223...2...........222...nDn；6、120000132000013200..............000032000013nD；第3页共25页7、111222121212nnnnxxxnxxxnDxxxn；8、nxaaaxaDaax；9、111111222212333123111231nDnnnn；10、000000000000000nyxyxyxDyxxy；第二章矩阵一、选择填空题1、设112311131111A，则A的秩()rA。2、设2314113332411021A，则A的秩()rA。3、设,AB均为3阶方阵，且42,AB，则2BAA。第4页共25页4、设12013012A，410113201134B，则TAB。5、设122212221A，则1A。6、设A和B皆为n阶方阵，则下面论断错误的是()（1）()TTTABBA；（2）111()ABBA；（3）AAA，其中A为A的伴随矩阵；（4）如果ABO，则AO或BO。7、设A是mn阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵BAC的秩为t，则下列结论成立的是（）。（1）rt；（2）rt；（3）rt；（4）r与t的关系不定。8、下面论断错误的是()。（1）若干个初等阵的乘积必是可逆阵；（2）可逆阵之和未必是可逆阵；（3）两个初等阵的乘积仍是初等阵；（4）可逆阵必是有限个初等阵的乘积。9、设n阶实方阵,,ABC满足关系式ABCE，其中E为n阶单位矩阵，则下列关系式成立的是（）（1）ACBE；（2）CBAE；（3）BACE；（4）BCAE。10、设111213212223313233aaaAaaaaaa，111211132122212331323133aaaaBaaaaaaaa，110010001P，则下列等式正确的是（）（1）PAB；（2）APB；（3）PBA；（4）BPA。二、计算证明题1、设矩阵A和B满足关系式2ABAB，且已知301110014A，求矩阵B。第5页共25页2、已知AXBX，其中010111101A，112053B，求矩阵X。3、设,AB为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，满足关系式2ABEAB，且已知101020101A，求矩阵B。4、设,AB为n阶矩阵，满足ABAB，（1）证明AE可逆；（2）若101021121A，求矩阵B。5、设矩阵111111111A，矩阵B满足12ABAB，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵B。6、已知三阶矩阵A的逆矩阵为1111121113A，试求伴随矩阵A的逆矩阵1()A。7、已知110011001A且EABA2，其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B。8、设方阵A满足220AAE，证明A及2AE都可逆，并求1A及1(2)AE。9、已知EAB可逆（其中E为单位矩阵），试证EBA也可逆，且有11()()EBAEBEABA。第三章向量组的线性相关性和秩一、选择填空题1、设向量组123,,线性无关，则当t_____时，向量组21，32t，13第6页共25页线性相关。2、已知向量组11234，22345，33456，44567，则该向量组的秩为。3、已知向量组11211，2200t，30452的秩为2，则t。4、关于最大无关组，下列说法正确的是（）（1）秩相同的向量组一定是等价向量组；（2）一个向量组的最大无关组是唯一的；（3）向量组与其最大无关组是等价的；（4）如果向量组所含向量的个数大于它的秩，则该向量组线性无关。5、设矩阵()ijmnAa的秩为r，则下列说法错误的是（）（1）矩阵A存在一个r阶子式不等于零；（2）矩阵A的所有1r阶子式全等于零；（3）矩阵A存在r个列向量线性无关；（4）矩阵A存在mr个行向量线性无关。6、对于线性相关和线性无关，下列说法错误的是（）（1）所含向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关；（2）如果一个向量组线性无关，则该向量组中一定不包含零向量；（3）如果一个向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其它向量线性表示；（4）如果n阶方阵的行列式为零，则该矩阵的列向量组一定线性无关。7、n维向量组123,,,()rrn线性无关的充要条件是（）（1）存在一组不全为零的数12,,,rkkk，使得11220rrkkk；（2）12,,,r中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示；（3）12,,,r中任意两个向量都线性无关；（4）12,,,r中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。8、向量组12,,,r线性无关的充分条件是（）（1）12,,,r均不为零向量；第7页共25页（2）12,,,r中任意两个向量的分量不成比例；（3）12,,,r中任意一个向量都不能用其余1r个向量线性表示；（4）12,,,r中有一部分向量线性无关。9、已知向量组1234,,,线性无关，则下列说法正确的是()（1）12233441,,,线性无关；（2）12233441,,,线性无关；（3）12233441,,,线性无关；（4）12233441,,,线性无关。10、下列说法错误的是（）（1）矩阵的秩等于该矩阵的行向量组的秩；（2）矩阵的秩等于该矩阵的列向量组的秩；（3）一个n阶方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关；（4）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。二、计算证明题1、已知向量组11320，270143，32101，45162，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。2、已知向量组（I）123,,；（II）1234,,,；（III）1235,,,，如果各向量组的秩分别为()()3,()4RIRIIRIII，证明：12354,,,线性无关。3、已知向量组1(1211)，2(200)x，3(0452)的秩为2，试求x的值。4、已知向量组1042，2110，3243，4111，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。第8页共25页5、设向量组123,,线性无关，证明：122313,,线性无关。6、设向量组123,,线性无关，记11，223，3123，证明：123,,也线性无关。7、已知向量组11211()，2020()x，35402()线性相关，试求x的值。8、已知向量组1131，2112，3313，5044，问：（1）1，2，3，4是线性相关还是线性无关？为什么？（2）求1，2，3，4的一个极大无关组。9、设向量组123,,线性无关，记11，2232，312323，证明：123,,也线性无关。10、设向量组123,,线性无关，证明：122331,,线性无关。第四章线性方程组一、选择填空题1、线性方程组23451234512345123452263543332301xxxxxxxxxaxxxxxxxxxx有解的充要条件是a。2、线性方程组1212323434141xxaxxaxxaxxa有解的充要条件是。3、设A是mn阶矩阵，0Ax是非齐次线性方程组Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）第9页共25页（1）若0Ax仅有零解，则Axb有唯一解；（2）若0Ax有非零解，则Axb有无穷多个解；（3）若Axb有无穷多个解，则0Ax仅有零解；（4）若Axb有无穷多个解，则0Ax有非零解。4、已知12,是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解，12,是对应齐次线性方程组0Ax的基础解系，12,kk是任意常数，则方程组Axb的通解必是（）（1）12112122()kk；（2）12112122()kk；（3）12112122()kk；（4）12112122()kk。5、设A是mn阶矩阵，齐次线性方程组0Ax仅有零解的充要条件是（）（1）A的列向量线性无关；（2）A的列向量线性相关；（3）A的行向量线性无关；（4）A的行向量线性相关。二、计算题1、设有线性方程组1231231233632334xxxxxxxxaxb，问ab、为何值时，方程组①有唯一解？②无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。2、为何值时，非齐次线性方程组12312321231xxxxxxxxx