矩阵的初等变换

皖西学院本科毕业论文（设计）第1页矩阵的初等变换及其应用作者（学号）：李婷婷（20072238）学校名称：皖西学院系别：应用数学学院专业：信息与计算科学班级：0701班指导老师：岳芹二○一一年六月皖西学院本科毕业论文（设计）第2页矩阵的初等变换及其应用作者李婷婷指导老师岳芹摘要:本文从矩阵的初等变换的概念出发,以具体实例为依据,总结了矩阵初等变换在线性代数中的一些应用.可以用来求逆矩阵、求矩阵的秩、求向量组的极大无关组、证明向量组等价,判断向量组的线性相关性、解矩阵方程和化二次型为标准形等.另外,简单介绍了矩阵的初等变换在其他方面的应用.关键词:矩阵；初等变换；应用TheelementarytransformationofmatricesanditsapplicationsAbstract:Startingwiththeconceptoftheelementarytransformationofmatricessummarizes,basedonexamples,applicationsoftheelementarytransformationinlineralgebraaresummarized.Itcanbeusedtofindinversematrices,rankofamatrixandenormouslinerindependencegroupofaclassofvectors,andprovetheequationofvectorgroups,judgethelinearindependenceofavectorgroup,solvematrixequationsandchangeaquadraticformfromquadraticformtostandardformandsoon.Inaddition,applicationsoftheelementarytransformationofmatricesinotheraspectsissimplyintroduced.Keywords:matrix;elementarytransformation;application1引言在数学名词中,矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据,这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵,这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心,在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用.矩阵的初等变换是矩阵中一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用.由于矩阵的初等变换计算简洁,便于应用,是研究代数问题的一个重要工具.如何巧妙地运用初等变换去解决数学中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果.本文将对矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用进行了简要讨论,首先给出了矩阵初等变换的定义,然后对其相关的各方面的应用，结合具体实例进行总结。这些实例更体现了矩阵的初等变换在数学中的重要地位.2基本概念皖西学院本科毕业论文（设计）第3页定义2.1对矩阵施行下面的三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:(1)交换矩阵的两行(列)；(2)以一个数k0乘矩阵某一行(列)的所有元素；(3)把矩阵的某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义2.2如果A经过有限次初等变换变为矩阵B,称矩阵A与B等价,记为AB.定义2.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着下面三种初等矩阵:(1)交换单位矩阵E中的第i,j两行(列),得到初等矩阵:11011(,)111011iijjE第行第行(2.1)(2)以数k0乘以单位矩阵E的第i行(列),得到初等矩阵:1111ikjkE　第行(2.2)(3)把单位矩阵E的第i行的k倍加到第j行上,得到初等矩阵:1111iijkkjE第行第行(2.3)皖西学院本科毕业论文（设计）第4页定义2.4在mn阶矩阵A中,任取k行和k列(km,kn),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.定义2.5矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记作R(A).性质2.1矩阵的每一种初等变换都是可逆的,即若矩阵A经过一次行(列)初等变换变为矩阵B,则矩阵B也可以经过一次同种行(列)初等变换变为矩阵A.性质2.2矩阵的相等关系是一个等价关系,即矩阵的相等关系满足:(设A,B,C,是任意三个同型矩阵)(1)自反性AA；(2)对称性若AB,则BA；(3)传递性若AB,BC,则AC.性质2.3初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆是同类型的初等矩阵,即1111(())(())(())ijijikiijkijkkEEEEEE,,，，,,(2.4)性质2.4设A是一个mn阶矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于对A左乘以相应的m阶初等阵；对A施行一次初等列变换,相当于对A右乘以相应的n阶初等矩阵.即(1)~,ijrrijABEA,~,ijccijABAE；(2)~irkikABEA,~ickikABAE；(3)~,ijrkrijkABEA,~,ijckcjikABAE.3矩阵的初等变换的应用本节主要给出了矩阵的初等变换在线性代数中的一些典型应用,简单地介绍了矩阵初等变换在其它方面的应用.3.1求矩阵和向量组的秩3.1.1求矩阵的秩定理3.1.1初等变换不改变矩阵、向量组的秩.定理3.1.2R(A)A的行秩(矩阵的行向量组的秩)A的列秩(矩阵的列向量组的秩).由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个mn阶矩阵,均可以经过一系列行初等变换化为mn阶梯形矩阵.为了计算一个矩阵的秩,只要用初等行变换把它变成阶梯形,这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩.在此过程中也可使用列变换或者两种初等变换同时使用.皖西学院本科毕业论文（设计）第5页例1求矩阵641110231496A的秩.解:对矩阵A施行初等行变换,过程如下:122132313264111023102314916614966411102310230411190411190411190000rrrrrrrrrrA　因为行阶梯形矩阵有2个非零行,所以矩阵A的秩R(A)2.3.1.2求向量组的秩向量组12s　　,,,　的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩,记为12()sRr　　,,,　(3.1)如果要求出向量组的秩,可把每一个向量作为矩阵的行(列)从而转化为求矩阵的秩.例2求下列向量组的秩.TTTT1234(2345)(3456)(4567)(5678)　　　　，，，，，，，，，，，，，，，解:以1234　　　　　　　　,,,为行,用初等行变换化为阶梯形矩阵.1234234511111111345611110123)456711110000567856780000　　　　　　　　,,,可见,向量组的秩为1234()2R　　,,,　.3.2求矩阵的逆矩阵定义3.2.1对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使ABBAE(3.2)则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A1.定理3.2.1在通过只用初等行(列)变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E时,对单位矩阵E施行同样的初等变换,就得到A的逆矩阵A1.11初等行变换初等列变换；　　AΕΑΕΕΑΕΑ(3.3)皖西学院本科毕业论文（设计）第6页例3利用矩阵的初等变换求矩阵012114210Α的逆矩阵.解:作分块矩阵AE,对该矩阵施行初等行变换:3112321323012100114010211401001210021000121000111401011401032012100012100038021002321110632010421002321rrrrrrrrrrr1231100211010421120013211221142132112rrΑ　3.3用初等变换求解矩阵方程矩阵方程AXB有解B的每列可由A的列向量线性表出()()RRAAB若矩阵A可逆,则求解方程AXB等价于求矩阵XA1B,可以先求出A1,再作乘法A1B,也可采用类似初等行变换直接求出X,即1只用行变换ABEAB(3.4)则XA1B.类似地,对于方程XAB,若A可逆则XBA1.对于方程AXBC,若A,B均可逆,则XA1CB1.例4求解矩阵方程AXB,其中111022110Α,111110211Β.解:构造分块矩阵AB,对其作初等行变换皖西学院本科毕业论文（设计）第7页3132123231111111111110221100221101102110032301111110011612112223302211022110021120003230rrrrrrrrr1　　　　　　　　　　　　　　0　　　　　　　　ΑΒ3210011612110011612113020131001016120120032300012310rr　　　　　　　　　　　　　　　　　因此1113611306460ΧΑΒ.3.4求线性方程组的解给定一个含有n个未知数且由m个方程构成的线性方程组,形如11112211211222221122.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(3.5)并定义其系数矩阵A及增广矩阵Α分别为11121111211212222122221212nnnnmmmnmmmnmaaaaaabaaaaaabaaaaaabΑA　，　(3.6)用向量形式表示为1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbaaaxbAxb(3.7)3.4.1求齐次线性方程组的解若(3.5)式中(12)jbjm，，全为零,则称方程组称为齐次线性方程组,向量形式为Ax0,其中A是上面方程组的系数矩阵,x为所求未知量组成的列向量.①用初等行变换将系数矩阵A化为阶梯矩阵,求出R(A).若R(A)n,则Ax0只有零解；若R(A)n,则Ax0有非零解,转入②；皖西学院本科毕