矩阵论讲稿2014

请勿上传公共网站矩阵论讲稿作者：张凯院使用教材：《矩阵论》科学出版社/西北工业大学出版社张凯院徐仲等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论辅导讲案》西北工业大学出版社张凯院徐仲编课时分配：第一章18学时第四章8学时第二章6学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时矩阵论教材与教辅矩阵论张凯院徐仲等编科学出版社（2013）矩阵论（第3版）程云鹏张凯院徐仲编西北工业大学出版社（2006）矩阵论简明教程（第2版）徐仲张凯院陆全冷国伟编科学出版社（2005）矩阵论典型题解析及自测试题（第2版）张凯院徐仲陆全编西北工业大学出版社（2003）矩阵论导教导学导考（第2版）张凯院徐仲编西北工业大学出版社（2006）矩阵论辅导讲案张凯院徐仲编西北工业大学出版社（2007）矩阵论同步学习辅导张凯院徐仲编西北工业大学出版社（2002）矩阵论网络教学课件（音像版）张凯院主编科学出版社（2008）矩阵论流媒体课程（校园网）西北工业大学主页（）翱翔学堂—资源中心—流媒体课程—矩阵论矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-1第一章线性空间与线性变换§1.1线性空间一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法：},,,{321LaaaS=性质法：}{所具有的性质aaS=相等)(21SS=：指下面二式同时成立2121,SSSaSa⊂∈⇒∈∀即1212,SSSbSb⊂∈⇒∈∀即交：}{2121SaSaaSS∈∈=且I并：}{2121SaSaaSS∈∈=或U和：},{22112121SaSaaaaSS∈∈+==+例1R}0{2221111∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡==jiaaaaASR}0{2212112∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡==jiaaaaAS，21SS≠R},00{2211221121∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡==aaaaASSIR},0{21122221121121∈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==jiaaaaaaaASSUR}{2221121121∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡==+jiaaaaaASS2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R，复数域C，有理数域Q，等等．3．映射：设集合1S与2S，若对任意的1Sa∈，按照法则σ，对应唯一的.)(,2baSb=∈σ记作称σ为由1S到2S的映射；称b为a的象，a为b的象源．（b未必取遍集合2S）变换：当21SS=时，称映射σ为1S上的变换．其它表示方法？指定加法规则！为什么？矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-2例2)2(R})({≥∈==×naaASjinnji．映射1σ：AAdet)(1=σR)(→S变换2σ：nIAA)det()(2=σ)(SS→二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V非空，给定数域K，若在V中(Ⅰ)定义的加法运算封闭,即VyxVyx∈+∈∀)(,,元素对应唯一,且满足(1)交换律：xyyx+=+(2)结合律：)()()(Vzzyxzyx∈∀++=++(3)有零元：)(,VxxxV∈∀=+∈∃θθ使得(4)有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,xxVxVx使得.(Ⅱ)定义的数乘运算封闭,即VkxKkVx∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一,且满足(5)数对元素分配律：)()(Vykykxyxk∈∀+=+(6)元素对数分配律：)()(Kllxkxxlk∈∀+=+(7)数因子结合律：)()()(Klxkllxk∈∀=(8)有单位数：单位数xxK=∈1,1使得.则称V为K上的线性空间．例3R=K时，nR—向量空间；nm×R—矩阵空间][tPn—多项式空间；],[baC—函数空间C=K时，nC—复向量空间；nm×C—复矩阵空间例4集合}{R是正实数mm=+，数域}{R是实数kk=．加法：mnnmnm=⊕∈+,R,数乘：kmmkkm=∈∈+oR,,R验证+R是R上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立．(3)1=⇒=⇒=⊕θθθmmmm(4)mmmmmm1)(1)()(=−⇒=−⇒=−⊕θ零元唯一吗？负元唯一吗？任意指定运算方式都能构成线空吗？矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-3数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R是R上的线性空间．例5集合R}),({R212∈==iξξξα，数域R．设R),,(21∈=kηηβ．运算方式1加法：),(2211ηξηξβα++=+数乘：),(21ξξαkkk=运算方式2加法：),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘：))1(21,(2121ξξξα−+=kkkkko可以验证)(R2⋅+与)(R2o⊕都是R上的线性空间．[注]在)(R2o⊕中,)0,0(=θ,),(2121ξξξα+−−=−．Th1线性空间V中的零元素唯一，负元素也唯一．证设1θ与2θ都是V的零元素,则212211θθθθθθ=+=+=设1x与2x都是x的负元素,则由θ=+1xx及θ=+2xx可得212111)()(xxxxxxxx++=++=+=θ22221)(xxxxxx=+=+=++=θθ例6在线性空间V中，下列结论成立．θ=x0：θ=⇒=+=+xxxxx01)01(01θθ=k：θθθθ=⇒=+=+kkxxkkkx)()()1(xx−=−：)()(]1)1[()]([)1()1(xxxxxxxx−=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V中，)(yxyx−+=−．3．线性组合：KcVxxii∈∈若存在,,,使mmxcxcx++=L11,则称x是mxx,,1L的线性组合，或者x可由mxx,,1L线性表示．4．线性相关：若有mcc,,1L不全为零，使得θ=++mmxcxcL11，则称元素组mxx,,1L线性相关．5．线性无关：仅当mcc,,1L全为零时，才有θ=++mmxcxcL11，则称元素组mxx,,1L线性无关．[注]在)(R2o⊕中，)1,1(1=α,)2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α,)3,2(2=α线性相关．在例4的+R中，任意两个正数线性相关．两个不同的线性空间！可以作为算律应用特殊运算特殊结论矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-4三、基与坐标1．基与维数：线性空间V中，若元素组nxx,,1L满足(1)nxx,,1L线性无关；(2)Vx∈∀都可由nxx,,1L线性表示．称nxx,,1L为V的一个基,n为V的维数,记作nV=dim，或者nV.[注]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221121122211211000000000000aaaaaaaa⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100001000010000122211211aaaa2222212112121111EaEaEaEa+++=∑∑===2121ijjijiEa例7矩阵空间nm×R中,易见(1)),,2,1;,,2,1(njmiEjiLL==线性无关；(2)∑∑==×==minjjijinmjiEaaA11)(．故),,2,1;,,2,1(njmiEjiLL==是nm×R的一个基,mnnm=×dimR.2．坐标：给定线性空间nV的基nxx,,1L，当nVx∈时，有nnxxxξξ++=L11，称nξξ,,1L为x在给定基nxx,,1L下的坐标，记作列向量Τ1),,(nξξαL=．Th2线性空间nV中，元素在给定基下的坐标唯一．证设nV的基为nxx,,1L，对于nVx∈，若nnxxxξξ++=L11nnxxηη++=L11则有θηξηξ=−++−nnnxx)()(111L因为nxx,,1L线性无关,所以0=−iiηξ,即),,2,1(niiiL==ηξ.故x的坐标唯一．[注]设nVyx∈,在给定基nxx,,1L下的坐标为βα,（列向量），则(1)yx+在该基下的坐标为βα+．(2)xk在该基下的坐标为)(Kkk∈α．基不是唯一的！坐标是列向量抽象运算转化为向量的通常运算熟练掌握矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-5(3)nnxxxξξ++=L11α),,(1nxxL=（矩阵乘法形式）．例8矩阵空间22R×中，设22)(×=jiaA．(1)取基22211211,,,EEEE，2222212112121111EaEaEaEaA+++=坐标为Τ22211211),,,(aaaa=α(2)取基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11111B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11102B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11003B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10004B422432132122111)()()(BaBBaBBaBBaA+−+−+−=421223122121112111)()()(BaaBaaBaaBa−+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(aaaaaaa−−−=β[注]一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．例如：22EA=在上述两个基下的坐标都是Τ)1,0,0,0(．11EA=在上述两个基下的坐标不同．例9设线性空间nV的基为nxx,,1L，元素,ymyy,,1L在该基下的坐标为mααα,,,1L，则有(1)元素y可由myy,,1L线性表示⇔向量α可由mαα,,1L线性表示；(2)元素组myy,,1L线性相关⇔向量组mαα,,1L线性相关；(3)riiyy,,1L是元素组myy,,1L的最大无关组⇔riiαα,,1L是向量组mαα,,1L的最大无关组．证(2)对于数组mkk,,1L，因为θαα=++=++))(,,(11111mmnmmkkxxykykLLL等价于011=++mmkkααL，所以结论成立．四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间nV的基(Ⅰ)为nxx,,1L,基(Ⅱ)为nyy,,1L,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnnnnnnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcyLLLLLL22112222112212211111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnnncccccccccCLMMMLL212222111211写成矩阵乘法形式为Cxxyynn),,(),,(11LL=矩阵论10稿（张凯院）第一章线性空间与线性变换（第1节）请勿上传公共网站1-6称上式为基变换公式，C为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注]过渡矩阵C一定可逆.否则C的n个列向量线性相关,从而nyy,,1L线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=CyyxxnnLL称1−C为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设nVx∈在两个基下的坐标分别为α和β,则有=++=nnxxxξξL11α),,(1nxxLnnyyxηη++=L11β),,(1nyyL=βCxxn),,(1L=由定理2可得βαC=，或者αβ1−=C，称为坐标变换公式.例10矩阵空间22R×中，取基(Ⅰ)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10011A,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=10012A,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01103A,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=01104A(Ⅱ)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11111B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01112B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00113B,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00014B(1)求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵；(2)求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．解采用中介法求过渡矩阵.基(0)：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100022E(0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(CEEEEAAAA=(0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(CEEEEBBBB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=00111100110000111C，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010011011111112C(Ⅰ)→(Ⅱ)：=),,,(4321BBBB2114321),,,(CCAAAA−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−==−01000122111011122101100110100110