流体力学6-势流理论

本章主要研究内容：1.理想流体平面绕流问题（平面势流）2.几种最简单的势流3.绕圆柱体的无环流流动4.绕圆柱体的有环流流动5.附加惯性力与附加质量第六章势流理论§６-1几种简单的平面势流平面流动（或称二元流动）应满足的条件：•平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；•与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。图6－10xyddxdyVdxVdyVdxxy一、均匀流Vｘ＝Vo，Vy＝０0VxCyxoddxdyVdxVdyVdyxy(1)势函数0Vx(2)流函数0Vyｘ＝const，等势线ｙ=const，流函数等值线（流线）两组等值线相互正交0.Vxcxconst令0.Vycyconst令薄平板的均匀纵向绕流0v0v0vy0v0v0vy平板平行平壁间的流动二、源或汇流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，Vr=f(r)，V=02πrVr＝Ｑ∴Vr＝Ｑ/2πrxyVVxyyx直角坐标系：极坐标：11rsVVrsrsrrxyrd()s()2()2QddrdVdrrVddrrsrrQddrdVdrrVddsrrln22QQr流线为θ＝const，为原点引出的一组射线等势线为ｒ＝const，为同心圆。ln22QQr流线和等势线相互正交。当Ｑ＞０，则Vｒ＞０为点源，反之为点汇。对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，可以用源（汇）的速度势来描述。oACBDvvln2Qr三、偶极子定义无界流场中等流量的源和汇无限靠近，当间距δx→０时，流量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一个有限数值，即：Ｑδx→Ｍ（δx→０）这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。xQxy(,)Ar1rr2r2r12xQBC1212(lnln)2QrrQxy(,)Ar1rr2r2r12xQBCcos2Mr222Mxxy用迭加法求势函数φ流函数1212()()22QQ12sinxr2sin2Qxr21sinrx120xQxMrrsin2Mr222MyxyQxy(,)Ar1rr2r2r12xQBC令ψ＝C得流线族：222Mycxy122ycxy或即2210yxyc2221111()24xycc图6-8（b）流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，轴线：源和汇所在的直线等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。注意：偶极子和轴线的方向方向：由汇指向源的方向图6-8（b）偶极子的方向为ｘ轴负向四、点涡（环流）点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，方向垂直于xoy平面，与xoy平面的交点02srvvr涡索旋涡强度的两倍所求速度的点到点涡的距离2rsdvdrvrdd2流函数2srdvdrvrddrrln2r流线：ψ＝const同心圆Γ＞０对应于反时针的转动Γ＜０对应于顺时针的涡旋势函数§6－3绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶极子迭加形成的流动。均匀流动+偶极子=绕圆柱体的无环量流动1.无穷远条件（远场边界条件）一、圆柱绕流的边界条件：圆柱表面不可穿透r=r０，Vｎ=Vｒ=０或r=r０的圆周是一条流线r=r０，ψ=０（零流线）在无穷远处为均匀流2.物面条件（近场边界条件）00xyVVVｒ∞或00cossinrVVVVrVV0V12012022McosVrcosrMsinVrsinr边界条件的验证rVV0V00()02MsinVrr令ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴002MVrr00sin或圆周也是流线的一部分002Mrrv0近场边界条件00cossinrVVVVｒ→∞20022002cos(1)1sin(1)rrVVrrrVVrr2002MVr200cos()rVrr远场边界条件02McosVrcosrrVV0V结论：200cos()rVrr均匀流动+偶极子=绕圆柱体的无环量流动20022002cos(1)1sin(1)rrVVrrrVVrr圆柱表面的速度分布002sinrVVVＡ、Ｃ：A,C为驻点！22000022cos(1)sin(1)rrrVVVVrr0rrＢ、Ｄ：0,22VV速度达到最大值，且与圆柱体半径无关。流场速度分布二、圆柱表面的速度分布0,0V0rV？讨论：零流线上的速度变化？讨论：零流线上的速度变化20022002cos(1)sin(1)rrVVrrVVr零流线上的速度大小222002(1)rrVVVVrX轴：圆周：02sinVV,AB(D),(),ABDC速度减小，速度增加速度减小，C,速度增加三柱面上的压力分布:定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:220022VVpp2200(14sin)2Vpp无穷远均匀流中压力002sinrVVV02sinVV圆柱体上：压力系数:02012pppCV414sinpC2压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴。在Ａ，Ｃ两点压力最大在Ｂ，Ｄ两点压力最小414sinpC2？讨论：零流线上的压力变化圆柱面上的压力分布？讨论：零流线上的压力变化220022VVpp,AB(D),(),ABDC速度减小，速度增加速度减小，C,速度增加,AB(D),(),ABDC压强增加，压强减小压强增加，C,压强减小理想流体对圆柱体的作用力:升力L：合力在ｙ轴上的分量阻力R：合力在x轴上的分量绕圆柱的无环量流动：升力Ｌ＝０阻力Ｒ＝０压力分布对称于y轴达朗贝尔谬理!负压正压１.２.物体周围的流场无界３.物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点４.物体作等速直线运动５.物体表面流动没有分离§６-3绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应环量为Γ顺时针平面点涡绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的无环流边界条件仍成立：1.圆柱是一条流线2.无穷远处的边界条件势函数与流函数220000cos()sin()ln22rrVrVrrrr（顺时针转动取负）流场中速度分布20022002cos(1)1sin(1)2rrVVrrrVVrrr当(圆周仍为流线)0ln.2rconst0rrｒ→∞00cossinrVVVV（无穷远处为均匀流动）0012sin2VVr0rVR-r=r0一、边界条件：圆柱表面上速度分布由环流引起圆柱上表面：顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速度方向相同，故速度增加。圆柱下表面：方向相反，因而速度减少。0012sin2VVr0rV二：速度分布及驻点位置驻点位置00sin4srV0012sin02VVr0V0rV圆柱表面上驻点不在圆柱表面上结论：1.合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力2.合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力2200(2sin)222vpCCVr三阻力、升力大小的计算：222002200sin2sin8VCVrr伯努利方程（沿圆柱表面）0012sin2VVr22vpC1圆柱表面压力分布单位长ds所受到的阻力0coscosDFdsdpdpr0V0rpdsdLdFDdF200cos0DFprd单位长圆柱所受到的阻力2阻力大小的计算：2200(2sin)222vpCCVr单位长ds所受到的升力0sinsinLFdsdpdpr0V0rpdsdLdFDdF200sinLprd单位长圆柱所受到的升力222002022000sin2s()sinin8VCVrrdrL22232000sin0,sin0,sinddd0LV库塔—儒可夫斯基升力定理3升力大小的计算：库塔——儒可夫斯基升力定理0LV升力的方向:右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°有尖后缘的任意翼型绕流（理想流体）sincosdXpdSpdydYpdSpdx得ｘ和ｙ方向的总力：ssXpdyYpdx阻力R＝X升力L＝Y＝ρV0Γ库塔——儒可夫斯基升力定理结论：2.升力的大小为ρV0Γ，方向垂直于V01.物体只受到升力，不受阻力（理想流体）。3.Γｃ＞０（逆时针）时，方向朝下，Γｃ＜０（顺时针）时，方向朝上。升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转90o与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致旋转圆筒推力:L在船前进方向的分力四麦格鲁斯效应：绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。合速度V升力ＬVL的分力讨论：1.已知环量c，求圆柱体的旋转角速度环量c＝2πr0Vs＝2πr20圆柱表面的切向速度Vs=r所以＝c/2πr20w方法一：方法二：)(2220rdsnc所以＝c/2πr20Vscssvdsvds2.圆柱体长10m，直径1m，在静止流体中绕自身轴旋转，并沿垂直于自身轴方向等速移动，自然风u与V垂直。求:圆柱体受力解：环量c＝2πr0Vs＝2πr20＝37.1m2/s22050/xyVVVms所以023200cLVlNV=40m/su=30m/sn=225/sV0L3.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q，若平行直线流动和这一对强度相等的源和汇叠加。试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程解：（1）求势函数1r122r012coslnln22QQvrrrQ-Qaax(x,y)yr222212(),()rxayrxaycosrx22220ln()ln()22QQvxxayxay均匀流源汇1r122rQ-Qaax(x,y)yr3求驻点位置22220ln()ln()22QQvxxayxay（2）流场速度分布022222()2()xQxaQxavvxxayxay22222()2()yQyQyvyxayxay0222202()2()xQxaQxavvxayxay222202()2()yQyQyvxayxay200aQxavy驻点120012()222QQQvyvy1r122rQ-Qaax(x,y)yr（4）求零流线源汇均匀流1212222122()11yyxaxayyxaxatgtgaytgtgtgxya022222Qayvyarctgxya222022QayyarctgUxya令0200aQxayv零流线驻点在零流线上！！！物面方程均匀流+点源+点汇Q-QaaQ-Q均匀流+点源+点汇兰金椭圆柱开尔文椭圆柱半无限体均匀流+点源