反比例函数中的面积问题专题课程(教案)

1反比例函数中的面积问题适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60分钟知识点1.函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2.相交时所围成的三角形的面积问题。教学目标1．熟练应用函数图像与性质知识；2．灵活掌握反比例函数中面积问题的几种题型；3．熟练一次函数与反比例函数的综合应用。教学重点反比例函数中面积问题涉及题型的掌握。教学难点反比例函数与一次函数结合出现的面积问题所涉及的解题方法的归纳。教学过程一、复习预习由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。二、知识讲解1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（1ykxxyk或）（k为常数，k____0）的2函数叫做反比例函数．2．反比例函数的性质：反比例函数y＝kx（k≠0）的图象是______．当k0时，两分支分别位于第_____象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是直线_______．4．在双曲线y＝kx上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．5．因在反比例函数的关系式y＝kx（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝kx中即可求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式．6、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题。设P为双曲线kyx上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|,,kyxykskx。从而得：结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2k。结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|。结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|。3考点/易错点1反比例函数与一次函数的结合:一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。考点/易错点2反比例函数图像对称性（轴对称与中心对称）的应用，能相应的得到一些点的坐标的结论时要注意坐标符号的变化。三、例题精析题型归类：题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例题1】【题干】如图，直线OA与反比例函数(0)kykx的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．【答案】k=4【解析】由图象知,k0,由结论及已知条件得22k，∴k=4【例题2】【题干】如图，已知双曲线(0)kykx（0x）经过矩形OABC的边AB，4BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k．【答案】k=2【解析】连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而2OCEOAFkss，由四边形OEBF的面积为2得222kk，解得k=2。评注：第①小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积【例题3】【题干】在反比例函数4yx的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=4362；对于C：S=4，对于D：S=4故选（B）题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论5【例题4】【题干】已知一次函数y=kx+b(k≠o)和反比例函数y=2kx的图象交于点A(1，1)．(1)求两个函数的解析式；(2)若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标．【答案】解：（1）∵点A（1，1）在反比例函数2kyx的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为：1yx。设一次函数的解析式为：y=2x+b，∵点A（1，1）在一次函数y=2x+b的图象上，∴b=-1，∴一次函数的解析式为y=2x-1。（2）如图，∵点A（1，1），∴∠AOB=45°，∵△AOB是直角三角形，∴点B只能在x轴正半轴上，①当∠OB1A=90°时，即B1A⊥OB1，∵∠AOB1=45°，∴B1A=OB1，∴B1（1，0）；②当∠OAB2=90°时，∠AOB2=∠AB2O=45°，∴B1起OB2的中点，∴B2（2，0），综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）。例4题图例5题图【例题5】【题干】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数kyx的图象交于M、N两点．(1)求反比例函数和一次函数的函数关系式．(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【答案】解：（1）∵kyx的图象经过N（﹣1，﹣4），∴k=xy=﹣1×（﹣4）=4．∴反比例函数的解析式为4yx。又∵点M在4yx的图象上，∴m=2．∴M（2，2）．又∵直线y=ax+b图象经过M，N，∴，∴．∴一次函数的解析式为y=2x﹣2；（2）由图象可知：反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．6题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积【例题6】【题干】如图，已知(4,),(2,4)AnB是一次函数ykxb的图像和反比例函数myx的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．【答案】解：（1）(2,4)B在myx上8m．反比例函数的解析式为：8yx．点(4,)An在8yx上(4,2)A。经过，，解之得一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点，当时，点评注：对于例4、例5、例6类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题【例题7】【题干】已知,A、B、C、D、E是反比例函数16yx（x0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）【答案】∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16)、(2,8)、7(4,4)、(8,2)、(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有S==13π-26。题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等【例题7】【题干】如图，一次函数y=－x+8和反比例函数kyx（x0）的图象在第一象限内有两个不同的公共点A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)求实数k的取值范围．(2)若△AOB的面积S△AOB=24，求k的值．【答案】解：（1）y=-x+8与y=k/x联立已知k0，x²-8x+k=0，64-4k0，得0k16。（2）设两个交点横坐标为x1和x2，根据x2-x1=6以及x²-8x+k=0，（x2+x1）²-4x1x2=36，由韦达定理x1+x2=8；x1x2=k解得k=7。【例题8】【题干】如图，已知：一次函数：4yx的图像与反比例函数：2yx(0)x的图像分别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，8过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；（1）若设点M的坐标为(x，y)，请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．【答案】解：(1)xxxxS4)4(21=4)2(2x，当2x时，41最大值S。（2）∵2S2，由21SS可得：24x2x，0242xx，∴22x。通过观察图像可得：当22x时，21SS。当22220xx或时，21SS；当2222x时，21SS。四、课堂运用【基础】例1、2变式1.如图，矩形ABOD的顶点A是函数(0)kykx与函数(1)yxk在第二象限的交点，ABx轴于B，ADy轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．9答案解：（1）由图象知k0，由结论及已知条件得-k=3∴∴反比例函数的解析式为3yx，一次函数的解析式为2yx（2）由，解得，∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）∵，55,2,22PMm即∴92m或12m，∴点P的坐标为（0，92）或（0，12）。分析依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。2.例3变式如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．答案解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，AB3yxABxy1S阴影，12SS3xxyABO1S2S8题图10则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，∴S1+S2=3+3-1×2=4．故填空答案：4．分析欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．此题难度较大，考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义．例题4、5变式3.若一次函数y=2x1和反比例函数y=2kx的图象都经过点(1，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标。(3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．答案解：（1）∵反比例函数y=2kx的图象经过点（1，1），∴1=2k，解得k=2，∴反比例函数的解析式为y=1x；（2）解方程组得，∵点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，∴A（12，-2）；（3）P1（32，-2），P2（52，-2），P3（52，2）。【巩固】1.如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数2ymx的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．3x11（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＞y2．变式：当x＞0时，比较y1和y2的大小。答案解：（1）把A（2，3）代入2myx，得m=6。∴反比例函数的解析式为26yx。把A（2，3）、C（8，