湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究-与函数有关的新定义问题题库

1与函数有关的新定义问题1．实数x、y若存在坐标(x，y)同时满足一次函数y＝px＋q和反比例函数y＝kx，则二次函数y＝px2＋qx－k为一次函数和反比例函数的“共享”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数y＝－x＋4和反比例函数y＝3x是否存在“共享”函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；(2)已知整数m、n、t满足条件：tn8m，并且一次函数y＝(1＋n)x＋2m＋2与反比例函数y＝2018x存在“共享”函数y＝(m＋t)2＋(10m－t)x－2018，求整数m的值；(3)若同时存在两组实数对坐标(x1，y1)和(x2，y2)使一次函数y＝ax＋2b和反比例函数y＝－cx存在“共享”函数，其中实数abc，a＋b＋c＝0，令L＝|1x1－1x2|，求L的取值范围．解：(1)令－x＋4＝3x，解得x＝1或x＝3，y＝－x＋4和y＝3x是“共享”函数，实数对坐，标为(1，3)和(3，1)；(2)y＝(1＋n)x＋2m＋2与y＝2018x的“共享”函数是y＝(1＋n)x2＋(2m＋2)x－2018，由题意得，y＝(1＋n)x＋2m＋2与y＝2018x的“共享”函数为y＝(m＋t)x2＋(10m－t)x－2018，∴1＋n＝m＋t2m＋2＝10m－t，即n＝9m－3t＝8m－2，又∵tn8m，∴8m－29m－38m，m为整数，∴m＝2；(3)y＝ax＋2b和y＝－cx存在“共享”函数为y＝ax2＋2bx＋c，则a、b、c满足，a＋b＋c＝04b2－4ac≥0abc，即2()0acacaacc,∴－2ac－12.L2＝(1x1－1x2)2＝（x1＋x2）－4x1x2（x1x2）2＝（2ba）2－4ca（ca）2＝4b2－4acc2＝4（a＋c）2－acc2＝4(a2c2＋ac＋1)＝4(12ac)2＋3,∵－2ac－12,∴3L212，∴3L23.22．对平面直角坐标系中的点P(x，y)，定义d＝|x|＋|y|，我们称d为P(x，y)的幸福指数．对于函数图象上任意一点P(x，y)，若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y＝x2＋1就是一个幸福函数，理由如下：设P(x，y)为y＝x2＋1上任意一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2＋1|，∵x≥0，|x2＋1|＝x2＋1≥1,∴d≥1.∴y＝x2＋1是一个幸福函数．(1)若点P在反比例函数y＝1x的图象上，且它的幸福指数d＝2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；(2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数吗？请判断并说明理由；(3)若二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m(m0)是幸福函数，试求出m的取值范围．解：(1)设点P的坐标为(m，1m)，∴d＝|m|＋|1m|＝2，解得：m1＝－1，m2＝1，经检验，m1＝－1,m2＝1是原分式方程的解，∴满足条件的P点坐标为(－1，－1)或(1，1)；(2)一次函数y＝－x＋1是幸福函数，理由如下：设P(x，y)为y＝－x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|－x＋1|；x0时，d＝|x|＋|－x＋1|＝－x－x＋1＝1－2x1；当0≤x≤1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x－x＋1＝1；当x1时，d＝|x|＋|－x＋1|＝x＋x－1＝2x－11.∴对于y＝－x＋1上任意一点P(x，y)，它的幸福指数d≥1恒成立，∴一次函数y＝－x＋1是幸福函数；(3)设P(x，y)为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|，∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0，∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑．①当x≤0时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝－x＋x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m－1)2－m－1，当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m，3∴m2＋m≥1，解得：m≥5－12；②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)2＋m－1≥1，∵(x－m)2≥0，∴m－1≥1，解得：m≥2；③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m＝－(x－m－1)2＋m＋1，当x＝m时，d取最小值，最小值为m，∴m≥1；④当x＞m＋1时，d＝|x|＋|x2－(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)2＋m－1＞m≥1，∴m≥1.解得：若二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m(m＞0)是幸福函数，m的取值范围为m≥2.3．在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l：y＝－x＋2与双曲线y＝1x的切点坐标；(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过两点(－1，0)和(3，0)，若直线l：y＝x＋2与抛物线相切，试求实数a的值；(3)已知直线l：y1＝kx＋m与抛物线y2＝2x2＋14相切于点(12，34)，设二次函数M：y3＝ax2＋bx＋c(a、b、c为整数且a≠0)，对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2.求二次数M的解析式．解：(1)联立y＝－x＋2y＝1x，得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，∴切点坐标为(1，1)(2)由题可知，抛物线解析式可表示为：y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，联立y＝x＋2y＝ax2－2ax－3a，得：ax2－(2a＋1)x－3a－2＝0由抛物线和直线相切易知：a≠0且Δ＝0，∴Δ＝(2a＋1)2－4a×(－3a－2)＝16a2＋12a＋1＝0，4解得：a1＝－3＋58，a2＝－3－58，(3)由题可知：直线y1＝kx＋m和抛物线M都经过(12，34)，∴34＝k2＋m，34＝a4＋b2＋c①，∴m＝34－k2，联立y1＝kx＋34－k2，y2＝2x2＋14得2x2－kx－12＋k2＝0，∴Δ＝k2－4×2×(12－k2)＝0.解得：k＝2，∴m＝－14,∴直线l1的解析式：y1＝2x－14,∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2，对于一切实数x恒有：2x－14≤ax2＋bx＋c≤2x2＋14.当x＝0时，有－14＜c14，而c为整数，∴c＝0②.联立y1＝2x－14y3＝ax2＋bx＋c，得ax2＋(b－2)x＋c＋14＝0.∴Δ＝(b－2)2－4a×(c＋14)＝0,∴b2－4b＋4－4ac－a＝0③,联立①②③式得：a＝b＝1，c＝0.故二次函数M的解析式为：y3＝x2＋x.4．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t，t)，则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：y＝2x－1上存在“bingo点”P(1，1)．(1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y＝1x上的“bingo点”是________；(2)若抛物线y＝12x2＋(13a＋1)x－19a2－a＋2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，求x21＋x22的最小值；(3)若函数y＝14x2＋(n－k＋1)x＋m＋k－1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当－52≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．解：(1)y=x;（1,1）和（－1，－1）；(2)设二次函数y＝12x2＋(13a＋1)x－19a2－a＋2的“bingo点”为(x，x)，∴x＝12x2＋(13a＋1)x－19a2－a＋2，∴12x2＋13ax－19a2－a＋2＝0，∴x1＋x2＝－23a，x1·x2＝－29a2－2a＋4，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－23a)2－2×(－29a2－2a＋4)＝89(a＋94)2－252，又∵“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)，∴Δ≥0，即(13a)2－4·12·(－19a2－a＋2)≥0，∴a≤－3－21或a≥－3＋21，当a＝－3＋21时，x21＋x22取最小值，∴(x21＋x22)min＝203－4321；(3)∵y＝14x2＋(n－k＋1)x＋m＋k－1只有一个“bingo点”，∴y＝14x2＋(n－k＋1)x＋m＋k－1与y＝x只有一个交点，则14x2＋(n－k)x＋m＋k－1＝0有两个相同根，∴Δ＝b2－4ac＝(n－k)2－(m＋k－1)＝0，可得m＝(n－k)2－k＋1，当k＜－2时，n＝－2，m取最小值，即(－2－k)2－k＋1＝k，则无解；当－2≤k＜1时，n＝k，m取最小值，即－k＋1＝k，则k＝12；当k≥1时，n＝1，m取最小值，即(1－k)2－k＋1＝k，则k2－4k＋2＝0；∴k1＝2－2(不合题意，舍去)，k2＝2＋2，综上所述，k值为12或2＋2.5．已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t，2t)，则称点P为函数图象上的“偏离点”．例如：直线y＝x－3上存在“偏离点”P(－3，－6)．(1)在双曲线y＝1x上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存6在，请说明理由；(2)若抛物线y＝－12x2＋(23a＋2)x－29a2－a＋1上有“偏离点”，且“偏离点”为A(x1，y1)和B(x2，y2)，求w＝x21＋x22－ka3的最小值(用含k的式子表示)；(3)若函数y＝14x2＋(m－t＋2)x＋n＋t－2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当－2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．解：(1)存在．假设存在“偏离点”，根据题意得2x＝1x，解得x1＝22，x2＝－22，当x＝22时，y＝2；当x＝－22时，y＝－2，∴“偏离点”坐标为(22，2)或(－22，－2)；(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x，2x)，代入抛物线得－12x2＋(23a＋2)x－29a2－a＋1＝2x得－12x2＋23ax－29a2－a＋1＝0，∵Δ＝4a29＋2(－29a2－a＋1)≥0，∴a≤1，又∵x1＋x2＝43a，x1·x2＝49a2＋2a－2，∴x21＋x22－ka3＝(x1＋x2)2－2x1·x2－ka3＝89a2－(4＋k3)a＋4，又∵抛物线开口向上，且对称轴为a＝36＋3k16，∴若36＋3k≥16，即k≥－203，则当a＝1时，w＝x21＋x22－ka3最小值为89－k3，若36＋3k16，即k－203，则当a＝36＋3k16时，x21＋x22－ka3最小值为－k2＋24k＋1632，综上所述，w的最小值为89－k3（k≥－203）－k2＋24k＋1632（k＜－203）；(3)将“偏离点”(x，2x)代入14x2＋(m－t＋2)x＋n＋t－2＝2x得：14x2＋(m－t)x＋n＋t－2＝0，∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”，∴Δ＝(m－t)2－4×14(n＋t－2)＝0，即n＝m2－2mt＋t2－t＋2＝(m－t)2－t＋2，7又∵对称轴为m＝t，∴①若t≤－2，取m＝－2时，有nmin＝4＋4t＋t2－t＋2＝t，即t2＋2t＋6＝0，∵Δ＝4－4×1×6＜0，方程无解；②若－2t3，取m＝t时，有nmin＝t2－2t2＋t2－t＋2＝t，解得：t＝1，成立；③若t≥3，取m＝3时，有nmin＝32－6t＋t2－t＋2＝t，即：t2－8t＋11＝0，解得t1＝4＋5，t2＝4－5(舍)，综上所述，t＝4＋5或t＝1.6．若y是关于x的函数，H是常数(H＞0)，若对于此函数图象上的任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，都有|y1－y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称第6题图为该函数的界高．如图所表示的函数的界高为4.(1)若函数y＝kx(k＞0)(－2≤x≤－1)的界高为6，则k＝__