高中数学奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性与周期性一、填空题1．已知函数f(x)＝1＋mex－1是奇函数，则m的值为________．解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋me－x－1＋1＋mex－1＝0，∴2－mexex－1＋mex－1＝0，∴2＋mex－1(1－ex)＝0，∴2－m＝0，∴m＝2.答案：22．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x，所以f(－2)＝3－22＝－1.答案：－13．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R，∴f(0)＝0⇔a－120＋1＝0⇔a＝12.经检验，当a＝12时，f(x)为奇函数．解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－12－x＋1＝－a－12x＋1.∴2a＝12x＋1＋2x1＋2x＝1，∴a＝12.答案：124．若f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＝________，b＝________.解析：由a－1＝－2a及f(－x)＝f(x)，可得a＝13，b＝0.答案：1305．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集为：{x|-2＜x＜0或2＜x＜5}．答案：{x|-2＜x＜0或2＜x＜5}6．(2010·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)x的解集为________．解析：f(x)＋f(－x)x即f(x)x2，如图，由数形结合法可知不等式的解集为[－2,1)．答案：[-2,1)二、解答题7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．解：设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－x3－x＋1＝－f(x)，即f(x)＝x3＋x－1.∴x＜0时，f(x)＝x3＋x－1，又f(x)是奇函数．∴f(0)＝0，∴f(x)＝x3＋x＋1(x＞0)0(x＝0)x3＋x－1(x＜0).8．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，求f(log126)的值．解：∵x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1.∴x∈(－1,0)时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，∵4＜6＜8，∴－3＜log126＜－2.又f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数．∵－1＜log126＋2＜0，∴f(log126)＝f(log126＋2)＝＝－2－log1232＋1＝－32＋1＝－12.2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解：(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，且f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f(10＋x)＝f[2＋(8＋x)]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋(13＋x)]＝f(20＋x)，∴f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有两个根，则f(x)＝0在(0,2005]上有201×2＝402个根；在[－2005,0]上有200×2＝400个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根．同步练习g3.1012函数的奇偶性和周期性1—13、DAABDBDDDCAAC.14、2()2(0)fxxxx15、0；016(1)偶函数(2)奇函数17(1)偶函数18、3331,219(1)411()2,()224ff(2)T=2函数的奇偶性与周期性1、若)(xf)(Rx是奇函数，则下列各点中，在曲线)(xfy上的点是（A）))(,(afa（B）))sin(,sin(f（C）))1(lg,lg(afa（D）))(,(afa3.已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则)25(f的值是（）A.0B.21C.1D.254、)(xf是定义在R上的以3为周期的偶函数，且0)2(f，则方程)(xf=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A．5B．4C．3D．26、已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若A．bB．－bC．b1D．－b18.函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则()(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数9.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff10.已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．211.已知函数()fx满足：x≥4,则()fx＝1()2x；当x＜4时()fx＝(1)fx，则2(2log3)f＝（）（A）124（B）112（C）18（D）3812已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是（）（A）（13，23）(B)［13，23）(C)（12，23）(D)［12，23）14、已知函数)(xfy在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2，则0x时，)(xf的解析式为_______________15、定义在)1,1(上的奇函数1)(2nxxmxxf，则常数m____,n_____18、定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围.