菲涅耳衍射

2020/7/4–4.1、菲涅耳衍射公式§2-4菲涅耳衍射理论–4.2、用角谱理论推导菲涅尔衍射公式–4.3、菲涅尔衍射举例–4.4、夫琅和费衍射公式2020/7/41.菲涅耳衍射：两种类型的衍射光源或接收屏之一距离衍射屏为有限远时的衍射；衍射屏上入射光或衍射光的相位为坐标的较复杂函数。2.夫琅和费衍射：光源和接收屏均距离衍射屏为无限远时的衍射；即入射光为平行光，衍射光也为平行光。2020/7/4菲涅耳衍射和夫琅和费衍射2020/7/44菲涅耳衍射和夫琅和费衍射图样2020/7/4已知：----菲涅尔衍射近似条件01jkrUPUPKedsjr22200rzxxyy220011122xxyyzzz在傍轴近似下，并利用二项式近似()1K由上述近似条件，得到菲涅尔衍射公式：220000001,exp,exp2kUxyjkzUxyjxxyydxdyjzz1.菲涅尔衍射公式220000exp,exp2jkzkhxxyyjxxyyjzz令：2020/7/40000,,,UxyUxyhxxxyds则：可见，菲涅耳近似下光传播过程具有空间平移不变性。菲涅耳光衍射的物理意义：受入射光波加权的用二次曲面代替球面的惠更斯子波的叠加结果2020/7/422000000exp,,exp2jkzkUxyUxyjxxyydxdyjzz22220000000001expexp[()]22,exp[()]exp[()]2kjkzjxyjzzkUxyjxyjxxyydxdyzz22220000000001expexp[()]2,exp[()]exp[2()]2xykjkzjxyjzzkUxyjxyjfxfydxdyz222200001expexp[()]{,exp[()]}22kkjkzjxyFUxyjxyjzzz2020/7/4222200001,expexp[()]{,exp[()]}22kkUxyjkzjxyFUxyjxyjzzz菲涅耳衍射：可看作是输入受二次相位因子调制的傅立叶变换观察平面上频率取值与坐标的关系：,xyxyffzz幅度变换二次相位因子二次相位因子2020/7/4coscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzA两个平行平面之间角谱传播规律为0x0y000(,,0)Pxycoscoscoscos(,,0)(,)AH---传递函数2.用角谱衍射理论推导菲涅耳公式假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只对轴附近的一个小区域内进行观察，则有22220max0maxmaxmaxzxyzxy及2020/7/4因而0cos1,xxxfz0cos1,yyyfz二项式展开22coscos(,)exp1coscosHjkz用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则2222222111()2xyxyffff2211(coscos)222coscos(,)exp()exp[(coscos)]2kzHjkzj即：22(,)exp()exp[()]xyxyHffjkzjzff---传递函数2020/7/4对上式作傅里叶反变换有1(,,){(,,)}xyUxyzFAffz11{(,,0)}{(,,)}xyxyFAffFHff0000(,,0)(,,0)Uxyhxy000000(,)(,)Uxyhxxyydxdy(,,)(,,0)(,)xyxyxyAffzAffHff0000(,)(,)exp{2[()()]}xyxyxyhxxyyHffjfxxfyydfdf因为利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有2200exp()exp[()]exp{2[()()]}xyxyxyjkzjzffjfxxfyydfdfyxzjzjdfdfyfxfjffzjyxyxyxexpexpexp2020/7/42200001(,)exp()exp{[()()]}2khxxyyjkzjxxyyjzz因此有得:000000(,,)(,)(,)UxyzUxyhxxyydxdy22000000exp()(,,0)exp{[()()]}jkzUxyjxxyydxdyjzz展开此式—菲涅耳衍射公式dydxyyxxzjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxU)](exp[)](exp[),()(exp[)exp(),(该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳衍射公式完全一样。2020/7/4由二项式近似可知，菲涅耳衍射成立的条件为222222118xyzff因而2220022()()2118xxyyzzz所以观察距离满足23222220001max()()()44zxxyyLL----观察区的最大区域max20200)(yxLmax221)(yxL----孔径的最大尺寸这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似2020/7/4衍射区域的划分几何投影区菲涅耳衍射区夫朗和费衍射区近场区远场区光阑2020/7/42020/7/42020/7/42020/7/42020/7/42020/7/40x0y000(,,0)Pxyd——周期000exp(2)(n=0,1,.....)nnngxcjxd4.泰伯效应(1836)一维周期性物体的复振幅透过率：1830年泰伯发现：用单色平面波垂直照射一个周期性物体,在物体后面周期性距离上出现物体的像的现象.讨论z处的光场，这是一个菲涅耳衍射问题。讨论菲涅耳衍射问题的两种思路：1、空间域内衍射积分公式2、频率域——角谱理论2020/7/4已知两个平行平面之间角谱传播规律为coscoscoscoscoscos(,,)(,,0)(,)AzAH0x0y000(,,0)Pxy000{1}xGfFgx2exp()exp()xxHfjkzjzf在单位振幅单色平面波照射下，输入物光场的空间频谱为：已知菲涅耳衍射传递函数：()nxnncfd0{exp(2)}nnnFcjxd0{exp(2)}nnncFjxd2020/7/40x0y000(,,0)Pxy0xxxGfGfHf2()exp()exp()nxxnncfjkzjzfd因此，观察平面上场分布的频谱：2()exp()exp[()]nxnnncfjkzjzdd当传输距离z满足条件：2222m=0,1,2mddzm则：2exp[()]1njzd2020/7/4则：()exp()xnxnnGfcfjkzd做逆傅里叶变换：000exp()gxgxjkz强度为：22000Igxgx可见在的整数倍距离上，可以观察到物体的像。22/Tzd22/Tzd---泰伯距离泰伯效应：不用透镜对周期性物体实现成像的现象。2020/7/4Z=d2/Z=d2/Z=d2/Z=d2/泰伯正像透明周期物泰伯效应示意图Z=md2/m为整数Z=m2d2/m为整数2020/7/4当传输距离z满足条件：22m=1,3mddzm则：2exp[()]1njzd0xxxGfGfHf2()exp()exp[()]nxnnncfjkzjzdd22m=0,2,4mddzm则：2exp[()]1njzd2020/7/4Z=d2/Z=d2/Z=d2/Z=d2/泰伯正像泰伯负像透明周期物泰伯效应示意图Z=md2/m为整数Z=md2/m为整数2020/7/4泰伯效应是一种无透镜的自成像现象。该效应只能对周期物成像，对于非周期物则不能成像。所成的像是周期性出现的多个像。它是一种特殊的衍射现象。e指数函数得到的结果和余弦、正弦信号的结果相同。2020/7/4例如：物体是周期的光栅，照明光波长0.1dmm4510mm泰伯距离为：22/40Tzdmm在z=40mm、80mm、120mm等位置可观察到自成像效应。22/Tzd---泰伯距离0.5dmm1dmm0.1dmm对于、和的三种光栅，采用He-Ne激光照明，泰伯距离分别为：22612/2(0.1)/632.810zd15.8mm2395zmm31580zmm同理2020/7/4泰伯距离为：22/Tzd可见：可以通过上式测量波长、光栅常数。2020/7/4莫尔条纹：在光栅所产生的泰伯自成像后放置一块周期相同的检测光栅，可以观察到清晰的莫尔条纹。几个世纪以前,法国丝绸工人曾发现两块叠合在一起的薄绸子在光线的照射下会产生绚丽的花纹,他们把这种自然现象称之为“莫尔”现象。2020/7/4长光栅莫尔条纹播放动画2020/7/4长光栅光闸莫尔条纹播放动画2020/7/4播放中……圆弧莫尔条纹单击准备演示播放动画2020/7/4光闸莫尔条纹播放动画播放中……2020/7/4环形莫尔条纹播放动画播放中……单击准备演示2020/7/4单击准备演示辐射形莫尔条纹播放动画2020/7/4莫尔条纹的光学放大作用透射式直线光栅中，把主光栅与指示光栅的刻线面相对叠合在一起，中间留有很小的间隙，并使两者的栅线保持很小的夹角θ。在两光栅的刻线重合处，光从缝隙透过，形成亮带；在两光栅刻线的错开处，由于相互挡光作用而形成暗带。2020/7/4莫尔条纹演示2020/7/4光栅的刻线宽度W莫尔条纹的宽度Lθ为主光栅和指示光栅刻线的夹角(单位：弧度)小角近似条件下，/sinLW从图中可知：/LW2020/7/4莫尔现象中的放大倍数：1//=WKLWW可见，放大倍数与两个光栅的夹角大小有关，与之成反比。2020/7/4例如：有一直线光栅，每毫米刻线数为50，主光栅与指示光栅的夹角=1.8，计算其形成莫尔条纹的宽度及放大倍数。分辨力=栅距W=1mm/50=0.02mm=20m（由于栅距很小，因此无法观察光强的变化）莫尔条纹的宽度：L≈W/θ=0.02mm/（1.8*3.14/180）=0.02mm/0.0314=0.637mm莫尔条纹的宽度是栅距的32倍,由于该值较大，因此可以用小面积的光电探测器“观察”莫尔条纹光强的变化。2020/7/4莫尔现象的应用：工业自动化中的核心测控部件——光栅传感器；小型智能化的长度测试仪器，用于对长度、直径、厚度、表面形状、粗糙度等多种参数的测量；新一代的计量测试工具；纳米级测量的重要仪器；非接触在线测量控制仪器；莫尔图案被广泛地用于文档加密、防伪当中。