全国二卷数学理2017

第1页绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.31ii（）A．12iB．12iC．2iD．2i2.设集合1,2,4，240xxxm。若1，则（）A．1,3B．1,0C．1,3D．1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90B．63C．42D．365.设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（）A．15B．9C．1D．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）A．2B．3C．4D．5第2页9.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．23310.已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．3311.若2x是函数21()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）A.1B.32eC.35eD.112.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小是（）A.2B.32C.43D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D。14.函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是。15.等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC，（1）求cosB；第3页（2）若6ac，ABC的面积为2，求b。18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是PD的中点。（1）证明：直线//CE平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值。第4页20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线3x上，且1OPPQ。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。21.（12分）已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。(1)求a；(2)证明：fx存在唯一的极大值点0x，且2202efx。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4。（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP,求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB△面积的最大值。23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2abab。证明：（1）55()()4abab；（2）2ab。第5页答案与解析1．D【解析】3+13212iiiii，故选D。2．C【解析】由1得1B，所以3m，1,3B，故选C。3．B【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由71238112x可得3x，故选B。4．B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V，故选B.5．A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点6,3B处取得最小值12315z，故选A.6．D【解析】22234236CCA,故选D。7．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D。8．B【解析】01234563S,故选B.9．A第6页【解析】圆心到渐近线0bxay距离为2213，所以2322bcaec，故选A.10．C【解析】补成四棱柱1111ABCDABCD,则所求角为201111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB因此1210cos55BCD，故选C.11．A【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]xxxfxxaexaxexaxae因为(2)0f，所以1a，21()(1)xfxxxe，故21()(2)xfxxxe令()0fx，解得2x或1x，所以()fx在(,2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减所以()fx极小值(1)f11(111)1e，故选A。12．B【解析】以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)Pxy，所以(,3)PAxy，(1,)PBxy，(1,)PCxy所以(2,2)PBPCxy，222333()22(3)22()222PAPBPCxyyxy当3(0,)2P时，所求的最小值为32，故选B。13．1.96【解析】~100,0.02XB，所以11000.020.981.96DXnpp.14．1【解析】22311cos3coscos3cos44fxxxxx23cos12x，0,2x，那么cos0,1x，当3cos2x时，函数取得最大值1.15．21nn【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，所以1123434102adad，解得111ad，所以第7页1,2nnnnanS，那么1211211nSnnnn，那么11111111221......21223111nkknSnnnn.16．6【解析】设0,Na，2,0F，那么1,2aM，点M在抛物线上，所以22832424aaa，所以0,42N，那么22200426FN.17．（1）15cos17B（2）2【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知ACB，再利用诱导公式化简sin()AC，利用降幂公式化简2sin2B，结合22sincos1BB求出cosB；利用（1）中结论090B，利用勾股定理和面积公式求出acac、，从而求出b．试题解析：（1）由题设及2sin8sin2ABCB得，故sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得217cosB-32cosB+15=0解得15cosB=cosB171（舍去），=（2）由158cosBsinB1717=得，故14asin217ABCScBac又17=22ABCSac，则由余弦定理及a6c得2222b2cosa2(1cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以b=2【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18．（1）()0.4092PA；（2）详见解析；（3）52.50【解析】（1）记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”为事件B第8页记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C则()()()PAPBPC()5(0.0120.0140.0240.0340.040)0.62PB()5(0.0680.0460.0100.008)0.66PC()0.4092PA（2）50kg50kg旧养殖法6238新养殖法34662200(62663438)15.70510.82810010096104K有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。（3）第50个网箱落入“5055”这组；取平均值52.50即为中位数的估计值。19．zyxM'MOFPABCDE（1）详见解析（2）110cos|cos,|||56114nk【解析】（1）取PA中点F，连接EF、BF、EC∵E、F分别为PD、PA中点∴12EFAD∥，又∵12BCAD∥∴EFBC∥，∴四边形BCEF为平行四边形∴CE∥平面PAD第9页（2）取AD中点O，连PO，由于PAD△为正三角形∴POAD又∵平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD∴PO平面ABCD，连OC，四边形ABCD为正方形。∵PO平面POC，∴平面POC平面ABCD而平面POC平面ABCDOC过M作MHOG，垂足为H，∴MH平面ABCD∴MBH为MB与平面ABCD所成角，45MBH∴MHBH在PCO△中，MHPO∥，∴MHCHPOCO，设ABBCa，2ADa，3POa