微分几何与啮合原理

研究生专业课程考试答题册考试课程微分几何与啮合原理研究生院得分：微分几何与啮合原理1平面啮合曲线计算方法利用瞬心线来传递运动的机构称为瞬心线机构。在传动时，两构件的瞬心线始终相切并做无滑动的滚动，以实现预期的传动比函数。当传动装置做连续传动时，上述要求时比较难做到的，在某些位置其传力条件是非常恶劣的。为克服这些缺点常用非圆机构去代替瞬心线机构。这时，为能实现预期的传动比函数，需要满足Willis定理。Willis定理：一对相互啮合的齿廓，在任一瞬时过啮合点的齿廓公法线应通过在该瞬时的两齿轮瞬心线的切点—瞬时啮合节点。1、运动学法求共轭曲线利用运动分析建立啮合方程0nv12以求共轭曲线的方法称为运动学法。在实际工作中，最长遇到的问题是已知两齿轮的传动比函数、传动的中心距和其中一个齿轮的齿廓，要求另一个齿轮上得共轭齿廓以及啮合点在固定坐标系中所留下的啮合线。其啮合坐标系如图1-1所示。图1-1齿廓Γ1上啮合点坐标为：jijir)sincos()cossin()()(111111111uururuururuyuxbbbb在坐标系S1中建立啮合方程，两齿轮间任一重合点的相对运动速度为：微分几何与啮合原理2)cos(sin11jijOOa21aa1112112111211211112111111221212sin/1)/11()cos/1)/11()cos(sin/1)()/11(1jijikjikarvaixiaiyiaiyxi齿廓Γ1上啮合点处的切矢：1111jirt1dudydudxdud其中：uurdudyuurdudxbbcos,sin1111齿廓Γ1上啮合点处的法矢：1121211111cossin/)(jiijkt/ktn11uududydudxdudydudx因此，啮合方程为：0)sinsincos(cos/)/11)(sincos(cossin)sin/1)/11()cos/1)/11((111212111111121121112112uuiaiuxuyuuaixiaiyijijinv12化简后得：aiuxuyu/)1)(sincos()cos(12111uaiuxuya)/)1)(sincoscos((12111将齿廓Γ1坐标变换到固定坐标系中，得到固定坐标系中的啮合线方程坐标：11001cossin0sin-cos11111111110100yxryxMyx将齿廓Γ1坐标变换到转动坐标系中，得到轮2的齿廓Γ2坐标：1100acos)cos()sin(asin)sin(-)cos(11112212122121112122yxyxMyx对上式进行数据计算，即可得到相啮合的一对齿廓上得啮合点坐标，具体步骤如下：微分几何与啮合原理3a)确定了参变量u的取值区间maxminuuu；选定其中一个u；b)计算齿廓Γ1上得坐标(x1,y1,1)c)由啮合方程计算轮1转过的角度d)由坐标变换矩阵M01得到固定坐标系中的啮合线e)由坐标变换矩阵M21得到轮2的齿廓方程Γ2将轮1、2及啮合线在固定坐标系中绘制出来，以显示两齿廓曲线的啮合过程，如图1-2所示：-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5图1-2运动学法求共轭曲线2、齿廓法线法求共轭曲线运动学法求共轭曲线的优点是具有广泛的适应性，无论是定传动比还是变传动比都适用；但啮合方程的建立比较复杂，对于定传动比，齿廓法线法更为简便。齿廓法线法根据Willis定理，齿廓上的任一啮合点，其齿廓法线必须通过该瞬时的节点，进而得到啮合方程。如图2-1所示，建立其啮合方程：sincos)sin(1111yxr式中：dudxdudya11tan微分几何与啮合原理4图2-1坐标变换矩阵及其余计算步骤与运动学法计算共轭曲线相似。将轮1、2齿廓曲线及啮合线在固定坐标系中绘制出来，以显示两齿廓曲线的啮合过程，如图2-2所示：对比两种计算方法及图2-1、2，可知两种计算可以得到完全相同的共轭曲线，但齿廓法线法计算简单，效率较高。-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5图2-2齿廓法线法求共轭曲线3、齿廓法线法求齿条刀具的共轭曲线设已知齿条齿廓Γ1在坐标系S1中为直线，以及齿轮与齿条的相对运动关系，建立三个如图3-1所示的坐标系。微分几何与啮合原理5图3-1齿廓Γ1上得点M1(x1,y1)的切线t与X轴的夹角为，齿廓Γ1在点M1的法线与X1轴的交点为P1，要使M1称为啮合点，齿条1必须向左移动到P。由此建立啮合方程：tan1122yxr式中：dudxdudya11tan，齿条刀具为定值。坐标变换矩阵及其余计算步骤与齿廓法线法计算齿轮齿廓共轭曲线相似。将齿条、齿轮齿廓及啮合线在固定坐标系中绘制出来，以显示齿轮齿廓插齿加工过程，如图3-2所示：-505-1.5-1-0.500.511.52图3-2齿条刀具加工齿廓曲线微分几何与啮合原理64、齿廓法线法求齿廓过渡圆弧当齿条刀具的齿顶带圆角时，设齿顶圆角的圆心为A，半径为ρ，刀具工作齿廓与齿顶圆角的分界点为A2，在该点的齿廓法线为A2A，压力角为α2，刀具齿顶圆角和顶刃的交接点为A1。如图4-4所示。若A’为啮合点，则过点A’的齿廓法线A’A必须通过啮合节点P，为此齿条需要右移一段距离l。故啮合方程为：tan/)sin(2'22ahr图4-1坐标变换矩阵及其余计算步骤与齿廓法线法计算齿廓共轭曲线相似。将齿条、齿轮过渡圆弧曲线及啮合线在固定坐标系中绘制出来，以显示过渡圆弧加工过程，如图4-2所示：00.511.522.53-1.4-1.35-1.3-1.25-1.2-1.15-1.1-1.05-1-0.95图4-2齿条刀具加工过渡圆弧微分几何与啮合原理75、单圆弧齿条刀具加工齿轮实例齿条刀具模数为1，压力角为20度，齿数20，刀具圆角0.2。设齿条刀具关于Y轴对称，刀具如图5-1所示。00.20.40.60.811.21.4-1.5-1-0.500.51图5-1齿条刀具将齿条齿轮齿廓、过渡圆弧曲线及啮合线在固定坐标系中绘制出来，以显示齿条插齿加工过程，如图5-2所示：-4-3-2-101234-1.5-1-0.500.511.5图5-2齿条刀具加工过程图附录：单圆弧齿条刀具插齿加工齿轮代码微分几何与啮合原理8functionchitiao_cut_gearalpha=20/180*pi;m=1;rou=0.2;r2=20;k=tan(pi/2-alpha);x0=pi/4*m+1.25*m/k;y0=1.25*m;y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha));x1=x0+(y1-y0)/k;x2=x1-rou*cos(alpha);y2=-1.25*m;iii=31;jjj=20;kkk=5;[x,y]=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk);fori=1:iiigama(i)=alpha;fai(i)=(x(i)+y(i)/tan(gama(i)))/r2;m01=[10-r2*fai(i);010;001];m02=[cos(fai(i))-sin(fai(i))0;sin(fai(i))cos(fai(i))-r2;001];m21=inv(m02)*m01;aaa(:,i)=[x(i),y(i),1]';bbb(:,i)=m01*aaa(:,i);ccc(:,i)=m21*aaa(:,i);if(sqrt(ccc(1,i)^2+ccc(2,i)^2)-(r2+1.0*m))0.1x0=pi/4*m+1.25*m/k;x0=x(i)y0=y(i)y1=-1.25*m+rou*(1-sin(alpha));x1=x0+(y1-y0)/k;x2=x1-rou*cos(alpha);y2=-1.25*m;x3=0;y3=-1.25*m;[x,y]=daoju(alpha,rou,x0,y0,x1,y1,x2,y2,x3,y3,iii,jjj,kkk);breakendendfori=1:iiigama(i)=alpha;fai(i)=(x(i)+y(i)/tan(gama(i)))/r2;微分几何与啮合原理9m01=[10-r2*fai(i);010;001];m02=[cos(fai(i))-sin(fai(i))0;sin(fai(i))cos(fai(i))-r2;001];m21=inv(m02)*m01;aaa(:,i)=[x(i),y(i),1]';bbb(:,i)=m01*aaa(:,i);ccc(:,i)=m21*aaa(:,i);endtiaoshu=size(fai,2)fori=iii+1:iii+jjjfai(i)=-((y2+rou)/((y(i)-(y2+rou))/(x(i)-x2))-x2)/r2;m01=[10-r2*fai(i);010;001];m02=[cos(fai(i))-sin(fai(i))0;sin(fai(i))cos(fai(i))-r2;001];m21=inv(m02)*m01;aaa(:,i)=[x(i),y(i),1]';bbb(:,i)=m01*aaa(:,i);ccc(:,i)=m21*aaa(:,i);endplot(bbb(1,:),bbb(2,:),'k')holdonfori=1:tiaoshu+1ifmod(i,5)==1m01=[10-r2*fai(i);010;001];m02=[cos(fai(i))-sin(fai(i))0;sin(fai(i))cos(fai(i))-r2;001];m21=inv(m02)*m01;aaa1=m01*aaa;plot(aaa1(1,:),aaa1(2,:),'g')ccc1=m02*ccc;plot(ccc1(1,:),ccc1(2,:),'r')%¹²éîÇúÏßelseifi==tiaoshu+1i=size(fai,2);m01=[10-r2*fai(i);010;001];m02=[cos(fai(i))-sin(fai(i))0;sin(fai(i))cos(fai(i))-r2;001];m21=inv(m02)*m01;aaa1=m01*aaa;plot(aaa1(1,:),aaa1(2,:),'g')ccc1=m02*ccc;plot(ccc1(1,:),ccc1(2,:),'r')%¹²éîÇúÏßendendholdoff