3.1.1二次函数的性质与一元二次方程根的分布理论

一、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：二次项系数开口方向顶点对称轴单调性最值a0向上左减右增最小值a0向下左增右减最大值abacab44,22abx2abac442abac442一元二次方程：ax2+bx+c=0()1.有两不相等的实根△0;有两相等实根△=0；没有实根△012122.;bcxxxxaa韦达定理:二、一元二次方程根与系数的关系acb42已知方程当方程满足下列条件时，的取值范围是什么？（1）有两正根（2）有两负根（3）两根小于1（4）两根大于（5）一根大于1，一根小于1（6）两根都在（0，2）内（7）两根有且仅有一根在（0，2）内（8）一根在（0，2）内，另一根在（3，4）内（9）一根小于2，一根大于4（10）一正根，一负根，且正根绝对值较大,032mxmxm21根的分布.gsp三、一元二次方程根的分布理论定理1方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根都属于（m，n）的充要条件是：设f(x)=ax2+bx+c=00020nafmafnabm定理2方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根有且仅有一根属于（m，n）的充要条件是：0nfmf定理3方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别在(m,n)的两侧(即一个根小于m,另一个根大于n）的充要条件是：00nafmaf定理4方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都大于n的充要条件是：定理5方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都小于m的充要条件是：020nafnab020mafmab定理6方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根中仅有一根在(n,+∞)的充要条件是：00qfpfnfmf0naf定理7方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根中仅有一根在(-∞,m)的充要条件是：定理8方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根在(m,n),另一根在（p,q）的充要条件是：0maf练习:1.已知二次方程(m－1)x2+(3m+4)x+(m+1)=0的两个根都属于(－1,1),求实数m的取值范围。2.已知二次方程mx2－(2m－2)x－(m+2)=0的一个根小于0,另一个根大于1,求实数m的取值范围。3.已知二次方程(m－1)x2－(3m+2)x+5m=0的两个根都大于2,求实数m的取值范围。5.已知二次方程(m+2)x2－(2m+4)x+(3m+3)=0的一个根大于1,另一个根小于1,求实数m的取值范围。6.已知二次方程(m+1)x2+(2m－16)x+(2m－5)=0的一个根在(－1,1)内,另一个根大于3,求实数的取值范围。4.已知方程2x2+(3m+1)x+(m+4)=0的两个根都小于－1,求实数m的取值范围。作业关于x的方程x2+ax+2=0至少有一个小于-1的根，求实数a的取值范围。提示:分方程只有一个实根和有两个不等实根两种情形讨论.