景区管理案例分析

1课时作业(四十九)[第49讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·宁德质检]已知方程x2k＋1＋y23－k＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是()A．k1或k3B．1k3C．k1D．k32．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A．(0，2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，4)3．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是()A．y＝±3xB．y＝33xC．x2－3y2＝1D．x2－3y2＝04．[2012·德化一中模拟]双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(5，＋∞)C．(1，3)D．(1，5)能力提升5．已知椭圆C：x24＋y2b＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1，4)2B．[1，＋∞)C．[1，4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)6．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率是()A.3B．2C.5D.67．过点P(－1，1)作直线与椭圆x24＋y22＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为P，则AB所在直线的方程是()A．x＋2y＋3＝0B．x＋2y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝08．已知椭圆C1：x2m＋2＋y2n＝1与双曲线C2：x2m－y2n＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.22，1B．0，22C．(0，1)D．0，12[中国教育出版网zzstep.com]9．[2012·武昌调研]已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.522＋2B.522＋1C.522－2D.522－1310．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个顶点分别为A1，A2，一个虚轴端点为B，若它的焦距为4，则△A1A2B面积的最大值为________．11．抛物线y2＝4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．12．[2012·江西六校联考]双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e，则a2＋eb的最小值为________．13．[2012·咸阳三模]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O，F，G，且直线x＝a2c与x轴相交于点H，则|FG||OH|最大时椭圆的离心率为________．14．(10分)[2012·金华模拟]已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是12时，AC→＝4AB→.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．15．(13分)[2012·东北四校联考]过抛物线x2＝4y上不同两点A，B分别作抛物线的切线，两切线相交于点P(x0，y0)，PA→·PB→＝0.(1)求y0；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F，若FA→·FB→＋λFP→2＝0恒成立，求λ的值．4难点突破[中_国教_育出_版网]16．(12分)[2012·衡水中学调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P(4，0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.5课时作业(四十九)【基础热身】1．B[解析]充要条件是k＋10，3－k0，k＋13－k，解得1k3.2．B[解析]x＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)．3．D[解析]设点的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝2|y|，整理得x2－3y2＝0.4．D[解析]双曲线的渐近线方程为y＝±bax，由于点(1，2)在上区域，故2ba，所以e＝ca＝1＋ba25，又e1.所以所求的范围是(1，5)．【能力提升】5．C[解析]直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.6．C[解析]设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′＝2x0，依题意有y0x0＝2x0.又y0＝x20＋1，解得x0＝±1，所以ba＝2x0＝2，b＝2a，所以e＝1＋b2a2＝5.故选C.7．C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＋2y21＝4，①x22＋2y22＝4，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.当x1＝x2时，不合题意；当x1≠x2时，得（y1＋y2）（y1－y2）（x1＋x2）（x1－x2）＝－12，③由已知x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2，y1－y2x1－x2＝kAB，所以kAB＝12，所以所求直线方程为y－1＝12(x＋1)，即x－2y＋3＝0.8．A[解析]根据已知只能m0，n0，且m＋2－n＝m＋n，即n＝1，所以椭圆的离心率为e＝m＋1m＋2＝1－1m＋2，由于m0，所以11－1m＋212，所以22e1.9．D[解析]由抛物线的定义，|PF|＝d1＋1，d1＝|PF|－1，d1＋d2＝d2＋|PF|－1，显然当PF垂直于直线x－y＋4＝0时，d1＋d2最小．此时d2＋|PF|为F到直线x－y＋4＝0的距离，为|1－0＋4|12＋12＝522，∴d1＋d2的最小值为522－1.610．2[解析]依题意，S△A1A2B＝ab≤a2＋b22＝c22＝2，所以△A1A2B面积的最大值为2.11．y2＝2(x－1)[解析]抛物线焦点为F(1，0)，设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y)，则y21＝4x1，y22＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.将y1＋y2＝2y，y1－y2x1－x2＝yx－1代入①式，得2y·yx－1＝4，即y2＝2(x－1)．12.263[解析]已知ba＝3，此时b＝3a且双曲线的离心率为1＋ba2＝2，所以a2＋eb＝a2＋23a≥22a3a＝263，等号当且仅当a＝2时成立．13.12[解析]根据已知O(0，0)，F(c，0)，G(a，0)，Ha2c，0，所以|FG||OH|＝a－ca2c＝ac－c2a2＝e－e2＝－e－122＋14≤14，所以当|FG||OH|最大时e＝12.14．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是12时，l的方程为y＝12(x＋4)，即x＝2y－4.由x2＝2py，x＝2y－4，得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴y1y2＝4①，y1＋y2＝8＋p2②，又∵AC→＝4AB→，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由x2＝4y，y＝k（x＋4），得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝x1＋x22＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2.7对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．15．解：(1)设Ax1，x214，Bx2，x224(x1≠x2)．由x2＝4y得，y′＝x2，所以kPA＝x12，kPB＝x22，因为PA→·PB→＝0，所以PA→⊥PB→，所以kPA·kPB＝x12·x22＝－1，即x1x2＝－4.直线PA的方程为y－x214＝x12(x－x1)，即y＝x1x2－x214，①同理直线PB的方程为y＝x2x2－x224，②由①②消去x得y0＝x1x24＝－1(x1，x2∈R)．(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.由韦达定理得x1x2＝－4b，由(1)知x1x2＝－4，所以b＝1，所以直线AB的方程为y＝kx＋1，不论k取何值，该直线恒过点(0，1)．(3)由(1)得FA→＝x1，x214－1，FB→＝x2，x224－1，Px1＋x22，－1，FP→＝x1＋x22，－2，x1x2＝－4.FA→·FB→＝x1x2＋x214－1x224－1＝－2－x21＋x224，FP→2＝（x1＋x2）24＋4＝x21＋x224＋2.所以FA→·FB→＋FP→2＝0，故λ＝1.【难点突破】16．解：(1)由题意知e＝ca＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝14.即a2＝43b2.又因为b＝61＋1＝3，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)．8由y＝k（x－4），x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①设点B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，－y1)，直线AE的方程为y－y2＝y2＋y1x2－x1(x－x2)，令y＝0，得x＝x2－y2（x2－x1）y2＋y1.将y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)代入，整理得x＝2x1x2－4（x1＋x2）x1＋x2－8.②由①得x1＋x2＝32k24k2＋3，x1x2＝64k2－124k2＋3，代入②式整理得x＝1.所以直线AE与x轴相交于定点Q(1，0)．