高中数学总复习-分类讨论思想介绍与专题训练(附详细解析)

1专题复习分类讨论思想一、填空题：例1．设集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x||x－3|≤a}，若AB，则实数a的取值范围是________．例2．已知实数a≠0，函数2,1()2,1xaxfxxax≥，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______例3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．例4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为．例5．若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是______．例6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝32，S3＝92，则a1的值为________．例7．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是__________．例8．已知圆x2＋y2＝4，则经过点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．例9．若函数321111()(1)3245fxaxaxx在其定义域内有极值点，则a的取值为．例10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．例10例11．若函数f(x)＝a＋bcosx＋csinx的图象经过点(0,1)和(π2,1)两点，且x∈[0,π2]时，|f(x)|≤2恒成立，则实数a的取值范围是_______．例12．函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是__________例13．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是________例14．数列{}na的通项222ππ(cossin)33nnnan，其前n项和为Sn，则Sn＝_________．二、解答题：2例15．设A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，且x∈A}，C＝{z|z＝x2，且x∈A}，若C⊆B，求实数a的取值范围．例16．已知函数2()||fxxxa=-，a∈R．（1）当a≤0时，求证函数()fx在(－∞,＋∞)上是增函数；（2）当a＝3时，求函数()fx在区间[0,b](b＞0)上的最大值．例17．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，116(,2)nnnaaann*N≥，若数列{an+1＋λan}是等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：当k为奇数时，111143kkkaa；（3）求证：121111()2nnaaa*N．3例18．已知12()|31|,()|39|(0),xxfxfxaax=-=??R,且112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx≤.（1）当1a=时,求()fx在1x=处的切线方程；（2）当29a≤时,设2()()fxfx=所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[,]mn的长度定义为nm-)，试求l的最大值；（3）是否存在这样的a，使得当[2,)x时,2()()fxfx=?若存在,求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案例1解析：①当a＜0时，B＝，符合题意；②当a≥0时，B≠，B＝{x|3－a≤x≤3＋a}，由AB得3434aa≥≤，解得0≤a≤1，综上所述a≤1．例2解析：①a＞0时，1－a＜1，1＋a＞1，则可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)＋2a，解得a＝－32，与a＞0矛盾，舍去；②a＜0时，1－a＞1，1＋a＜1，则－(1－a)＋2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34；所以a＝－34．例3解析：f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，①当k＞0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝3k＝3，解得k＝1；②当k＜0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝－k＝3，解得k＝－3③当k＝0时，显然不成立．∴综上所述{1，－3}例4解析：当双曲线焦点，在x轴上，ba＝34，∴b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝916，∴e2＝2516，∴e＝54；当双曲线焦点在y轴上，ba＝43，∴b2a2＝c2－a2a2＝e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53．4例5解析：①当a＞0时，需x－b恒为非负数，即a＞0，b≤0，②当a＜0时，需x－b恒为非正数．又∵x∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，由①②得a＞0且b≤0．例6解析当q＝1时，S3＝3a1＝3a3＝3×32＝92，符合题意，所以a1＝32；当q≠1时，S3＝a1(1－q3)1－q＝a1(1＋q＋q2)＝92，又a3＝a1q2＝32得a1＝32q2，代入上式，得32q2(1＋q＋q2)＝92，即1q2＋1q－2＝0，解得1q＝－2或1q＝1(舍去)．因为q＝－12，所以a1＝32×(－12)2＝6，综上可得a1＝32或6.例7解析分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，画出图象，由图象知a应满足的条件是0a102a1⇒0＜a＜12．例8解析：①当斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，若直线与圆相切，则2|24|21kk，解得k＝34，所以切线方程是3x－4y＋10＝0；②当斜率不存在时，易得切线方程是x＝2．例9解析即f(x)＝(a－1)x2＋ax－14＝0有解，①当a－1＝0时，满足题意；②当a－1≠0时，只需Δ＝a2－(a－1)＞0，解得252522a；综上所述，a的取值范围是252522a或a＝1．例10解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S1＝2×12×4a×3a＋(3a＋4a＋5a)×4a＝12a2＋48；再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：例10图①若AC＝5a，AB＝4a，BC＝3a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋4a)×2a＝24a2＋28；②若AC＝4a，AB＝3a，BC＝5a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(3a＋5a)×2a＝24a2＋32；③若AC＝3a，AB＝5a，BC＝4a，则四棱柱的全面积S2＝2×4a×3a＋2(4a＋5a)×2a＝24a2＋36；又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a2＋28＜12a2＋48⇒12a2＜20⇒0＜a＜153．综上所述，a的取值范围是0，153．例11解析：由f(0)＝a＋b＝1，f(π2)＝a＋c＝1，得b＝c＝1－a，f(x)＝a＋(1－a)(sinx＋cosx)5＝a＋2(1－a)sin(x＋π4)，∵ππ3π2π,sin()144424xx≤≤≤≤，①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋2(1－a)，∵|f(x)|≤2，∴只要a＋2(1－a)≤2解得a≥－2，∴－2≤a≤1；②当a＞1时，a＋2(1－a)≤f(x)≤1，∴只要a＋2(1－a)≥－2，解得a≤4＋32,∴1＜a≤4＋32，综合①,②知实数a的取值范围为[－2，4＋32]．例12解析：①当m＝0时，f(x)＝1－3x，其图象与x轴的交点为(13,0)，满足题意；②当m＞0时，由题意得0,0302mmm≥，解得0＜m≤1；③当m＜0时，由题意得0,010mm≥，解得m＜0；所以m的取值范围是m≤1例13解析：原不等式化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0，①当a≤1时，易得不合题意；②当a＞1时，－ba－1＜x＜ba＋1，由题意0＜ba＋1＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－ba－1＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3，结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，∴a＜3，从而有1＜a＜3．例14解析：因为22ππ2πcossincos333nnn，所以{22ππcossin33nn}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：①当3()nkk*N，时，312345632313()()()kkkkSaaaaaaaaa2222222221245(32)(31)(3)(6)((3))222kkk1331185(94)2222kkk；②当31()nkk*N时，3133(49)2kkkkkSSa；③当32()nkk*N时，2323131(49)(31)132122236kkkkkkkSSak综上所述，1(32)36(1)(13)(31)6(34)(3)6nnnknnSnknnnk(k*N)例15解∵y＝2x＋3在[－2，a]上是增函数，∴－1≤y≤2a＋3，即B＝{y|－1≤y≤2a＋3}．6作出z＝x2的图象，该函数定义域右端点x＝a有三种不同的位置情况如下：①当－2≤a＜0时，a2≤z≤4，即C＝{z|a2≤z≤4}，要使C⊆B，由图1可知，则必须2a＋3≥4，得a≥12，这与－2≤a＜0矛盾．②当0≤a≤2时，0≤z≤4，即C＝{z|0≤z≤4}，要使C⊆B，由图2可知，必须2a＋3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2；③当a＞2时，0≤z≤a2，即C＝{z|0≤z≤a2}，要使C⊆B，由图3可知，必须且只需a2≤2a＋3，a＞2，解得2＜a≤3；④当a＜－2时，A＝，此时B＝C＝，则C⊆B成立．综上所述，a的取值范围是(－∞，－2)∪[12，3]．例16解：（1）∵a≤0，∴x2－a≥0，∴f(x)＝x(x2－a)＝x3－ax，f(x)＝3x2－a，∵f(x)≥0对x∈R成立，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．（2）解：当a＝3时，f(x)＝x|x2－3|＝3x－x3，当－3＜x＜3，x3－3x，当x≤－3，或x≥3．（i）当x＜－3，或x＞3时，f(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)＞0．（ii）当－3＜x＜3时，f(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)．当－1＜x＜1时，f(x)＞0；当－3＜x＜－1，或1＜x＜3时，f(x)＜0．所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－3]，[－1，1]，[3，＋∞)；f(x)的单调递减区间是[－3，－1]，[1，3]．由区间的定义可知，b＞0．①若0＜b≤1时，则[0，b][－1，1]，因此函数f(x)在[0，b]上是增函数，∴当x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝3b－b3．②若1＜b≤3时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，b]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1)＝2，并且该极大值就是函数f(x)在区间[0，b]上的最大值．∴当x＝1时，f(x)有最大值2．③若b＞3时，当x∈[0，3]时，f(x)＝3x－x3在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此，在x＝1时取到极大值f(1)＝2，在x∈[3，b]时，f(x)＝x3－3x在[3，b]上单调递增，7在x＝b时，f(x)有最大值f(b)＝b3－3b．（i）当f(1)≥f(b)，即2≥b3－3b，b3－b－2b－2≤0，b(b2－1)－2(b＋1)≤0，(b＋1)2(b－2)≤0，b≤2．∴当3＜b≤2时，在x＝1时，f(x)取到最大值f(1)＝2．（ii）当f(1)＜f(b)，解得b＞2，∴当b＞2时，f(x)在x＝b时，取到最大值f(b)＝b3－3b．综上所述，函数y＝f(x)在区间[0，b]上的最大值为ymax＝3b－b3，0＜b≤12，1＜b≤2，b3－3b，b＞2．例17解：（1）∵数列{an+1＋λan}是等比数列，∴1111116(1)6nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa