二次函数辅导讲义

江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处名思教育辅导讲义学员姓名张晓楠辅导科目数学年级初三授课教师刘琳琳课题二次函数授课时间教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、知识点梳理一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=2xx21注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-a2b，k=a4b-4ac2；x1,x2=a24ac-bb-2；x1+x2=-a2b三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-a2b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-a2b，a4b-4ac2）。当x=-a2b时，y最值=a4b-4ac2，当a0时，函数y有最小值；当a0时，函数y有最大值。当-a2b=0时，P在y轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上（即函数与x轴只有一个交点）。3．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等；若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。4．二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号（即ab＞0）；当对称轴在y轴右边时，a与b异号（即ab＜0）。5．常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点（0，c）。6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。（参考四-6）二、考点分析考点一、图象1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a、b、c相关的代数式是否成立例1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处2、根据二次函数图象提供的信息，比较与a、b、c相关的代数式的大小例2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，且P=|a－b＋c|＋|2a＋b|，Q=|a＋b＋c|＋|2a－b|，则P、Q的大小关系为。3、根据二次函数图象提供的信息，确定对应一元二次方程的解例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的范围例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。考点2、考抛物线的解析式求二次函数的解析式，是重点内容。江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。求该抛物线的解析式。3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式例3、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．求该二次函数的解析式。4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为例7、在同一坐标平面内，图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）Ａ．y=2（x+1）2-1Ｂ．y=2x2+3Ｃ．y=-2x2-1Ｄ．江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线y=a2x+bx+c关于x轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。例8、抛物线y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线y=a2x+bx+c关于y轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。例9、抛物线y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式结论：抛物线y=a2x+bx+c关于x轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。例10、抛物线y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。考点3、图形面积最优化问题1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处4、截出图形面积的最值问题例4、如图4,△ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN,使长方形PQMN的边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC上。（1）问如何截才能使长方形PQMN的面积S最大？（2）在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料△APN、△BPQ△NMC剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。5、采光面积的最值例5、用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围；（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？三、课堂练习一、选择题：1.抛物线3)2(2xy的对称轴是（）A.直线3xB.直线3xC.直线2xD.直线2x2.二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（）A.042acbB.042acbC.042acbD.acb42≤0Oxy江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处4.把抛物线cbxxy2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532xxy，则有（）A.3b，7cB.9b，15cC.3b，3cD.9b，21c5.已知反比例函数xky的图象如右图所示，则二次函数222kxkxy的图象大致为（）OxyAOxyBOxyCOxyD6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cxcaaxy)(2与一次函数caxy的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）OxyAOxyBOxyCOxyD7.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若cbaM24cbaN，baP4，则（）A.0M，0N，0PB.0M，0N，0PC.0M，0N，0PD.0M，0N，0P二、填空题：8.将二次函数322xxy配方成khxy2)(的形式，则y=______________________.9.已知抛物线cbxaxy2与x轴有两个交点，那么一元二次方程02cbxax的根的情况是______________________.10.已知抛物线cxaxy2与x轴交点的横坐标为1，则ca=_________.Oxy21-1Oxy江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处11.请你写出函数2)1(xy与12xy具有的一个共同性质：_______________.12.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4x；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：13.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.14.如图，抛物线的对称轴是1x，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是)0,3(，则A点的坐标是________________.三、解答题：1.已知函数12bxxy的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0x时，求使y≥2的x的取值范围.2.如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.Oxy1-1BAOxyAB1116题图江阴名思教育一对一个性化辅导名思教育教务处3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？4.卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）.五、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：___________校长签字：___________家长签字：___________0.9cm5cmABCDEMO（1）ABCDEMO（2）