六年级奥数讲义分数应用题之工程问题2

工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。1.工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中的常见解题方法；3.工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。1.解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。经典精讲教学目标分数应用题之工程问题第四讲【例1】一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天?【分析】（法一）甲一共干了16天，完成了1162045，还有41515，是乙做的，乙干了了116530（天），休息了16610（天），请假天数为：1116116166102030（天）。（法二）假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成114()1620303，超过单位“1”的41133，则乙请假1110330（天）。【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？【分析】甲的工作效率：120，甲的工作量：128205，乙的工作量：23155，乙的工作效率：3115525，所以乙单独完成这项工作需25天。【例2】搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【分析】（1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：1112()8101215小时。（2）丙帮助甲搬运了111831015小时。（3）丙帮乙搬运了835小时。【拓展】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？【分析】三队合做完成二项工程所用的天数111111184202430天，丙帮乙队做的天数：1111181542430天。基本题型一、代换法【例3】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？【分析】根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。可以计算出乙单独灌水的工作量为1111225410，所以乙的工作效率为1(622)10120，所以整池水由乙管单独灌水，则需要112020（小时）。【巩固】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做的部分相当于甲做的4天，所以乙做了416433天，除去与甲合作的2天，以还要做1610233天。（法二）甲的工作效率为16，所以乙的工作效率为113468。两队合作2天后乙队独做还要111101226883天才能完成。【例4】一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比是2:3。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？【分析】根据甲、乙工效比是2:3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2，也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的23。由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半”可知，甲一共做了279天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要2963天。完成工程的一半乙要用6+7=13天。所以这项工作由乙单独来做需要22772263天。技巧与方法【例5】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【分析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是124。又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的45，14124530，甲、乙合作这一工程需用的时间为1111()1324303(天)。【例6】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【分析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？11511171218365（小时）。②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？1135117112183636。③余下的136由甲独做需要多少小时？11136123（小时）。④共用了多少小时？11721433（小时）。注：在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。【例7】某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这项工作。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？【分析】最初的效率为110，交换工人A和B后效率减少1101111110，交换工人C和D后效率增加19110190，同时交换工人A和B，C和D后效率变为1101110190101990，所需时间为：1018119990101。二、比例法【例8】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？【分析】根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：3(32)1532（天），甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需11161015（天）。注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。【例9】甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？【分析】（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：111()61015小时。⑵甲清扫全长的136105，乙清扫了全部的126155。⑶东西两城相距32126055千米。（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是11:3:21015，甲行了全程的332，乙行了全程的332，全程就是32126055千米。【例10】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【分析】（法一）在晴天,一队、二队的工作效率分别为112和115，一队比二队的工作效率高112-115=160；在雨天，一队、二队的工作效率分别为11140%1220和13110%1550，二队的工作效率比一队高3501201100。由11:5:360100知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的1312115202，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。（法二）设晴天有x天，雨天有y天，一队在下雨天的工作效率是：11601220％＝。二队在下雨天的工作效率是：13901550％＝，所以有：11112201311550xyxy，解得：610xy。三、列表法【例11】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？【分析】根据条件，列表如下：1号2号3号4号工作效率○○○×120×○○○121○×○○128○○×○130由表中可知，每个阀门都出现了三次，所以：1111131820212830（天）【拓展】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率○○○××112○×○×○17×○×○○18○×○○×142如表：一队、三队在表中出现3次，二队、四队、五队、各出现2次，如果第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中各个小队都被计算了3次。所以五个小队的工作效率之和为：11111231278426，五个小队一起合干需要1166天。【例12】一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？【分析】甲、乙、丙、丁的工效和是：111113()345403630360；甲的工效是：1311