第2章 2-4 典型环节分析

12.4、典型环节的分析1.比例环节比例环节又称放大环节。式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。比例环节的传递函数为：其数学方程为：一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分环节和滞后环节2比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化，下图给出比例环节的实例。在上图中，运算放大器具有很大的开环放大系数，且其输入电流很小，可以忽略，因此A点对地电位近似为零，于是有：而电压uc又近似等于R1两端电压，故有：或式中：uc为输出电压，ur为输入电压，K=R１/R０为比例系数。3u=Kn下图为一测速发电机，在不计所接负载的影响时，其输出端电压ur与输入转速n的关系为：式中为测速发电机的比例系数K4传递函数为：2.惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为：式中T为时间常数，K为比例系数。惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。5若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号，则有：由拉氏变换得：可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T~4T时，输出才能接近其稳态值。如下图所示6惯性环节的实例如下图所示。在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为：式中T=RC为电路的时间常数。7在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量时，其电路方程为：或为激磁绕组的电磁时间常数。式中83.3.积分环节积分环节的微分方程是：或传递函数为：式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，而T称为积分时间常数。积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由式（2-58）求得积分环节的单位阶跃响应为：c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。9下图给出了积分环节的实例。在图(a)中，因为而输出电压uc近似等于电容两端电压，所以有在图(b)中，以电动机的转速n(转/分))为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量，可得微分方程式中T为计及转速、转角单位关系的常数。104.振荡环节振荡环节的微分方程是：传递函数为：式中T为时间常数，ζ为阻尼比，对振荡环节有：当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏变换求得环节的输出响应，如右图所示11下图给出了振荡环节的实例。图(a)中，输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为：图(b)中，输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为：可见它们都是典型的振荡环节。125.微分环节理想微分环节的微分方程为：传递函数为：式中τ为微分时间常数。理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的微商，该环节的数学运算是微分运算。理想微分环节的单位阶跃响应为：这是一个强度为τ的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。13下图给出了微分环节的实例。在图(a)的电路中，输出电压uc与输入电压ur间的微分方程为：传递函数为：式中：14在图(b)中，输出电流i(t)与输入电压ur(t)间的微分方程为：式中其传递函数为：15在图(c)中，选取直流测速发电机的输入量为转角θ，输出量为电枢电压u(t)则其输入、输出间的微分方程为显然其特性相当于一个微分环节。166.纯滞后环节当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间τ后，才能复现输入信号，在时间0到τ的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。传递函数为：式中τ为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。纯滞后环节的数学表达式为：17上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：⑴系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型的数学模型。⑵同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振荡环节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它却是一个积分环节。18⑶在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。⑷典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型环节，那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般形式：19式中都是微分环节和比例环节的组合，称为一阶微分环节和二阶微分环节。由于它们在控制系统中较常用，所以也可以把他们当作典型环节对待。既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型环节，那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般形式：20四、控制系统的传递函数对于简单的控制系统，在求取它的传递函数时，可以采用直接计算法。即先列写系统的微分方程，再经过拉氏变换来求出系统的传递函数。例2-9设下图所示电路中，输入电压为u0，试写出其传递函数。解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式：21消去中间变量，得到输入、输出的微分方程式：在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，得：由此得出该电路的传递函数为：22在上述计算过程中，如果先对所列写的微分方程组作拉氏变换，再消去中间变量，可简化计算。在零初始条件下，对方程组取拉氏变换，得到：消去中间变量可得：传递函数为：23例2-10设电动机转速控制系统如下图所示，试写出以给定电压ur为输入，电动机转速ω为输出的传递函数。解：系统工作时，测速机将电动机的实际转速ω测量出来，并转换为相应的电压uCF，然后与给定电压ur相比较，得到误差信号e，e经放大装置再控制电动机。24按照信号传递顺序，可得到微分方程组：电动机的微分方程直接应用例2-3的结果，即式而测速机的输出电压正比于转子的角速度。K为测速机输出电压的斜率。在零初始条件下对上述方程进行拉氏变换，得：25消去中间变量得：传递函数为：由以上计算可看出，系统越复杂方程越多，消去中间变量的过程也就越复杂。因此，复杂的控制系统传递函数的求取主要采用图解法，即首先画出系统的动态结构图，然后利用图形简化规则或直接应用计算公式就可以求得系统的传递函数。