2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题12 三角函数的综合问题

专题十二三角函数的综合问题专题十二三角函数的综合问题主干知识整合专题十二│主干知识整合1．三角函数的综合问题主要包含以下几个方面(1)与三角形有关的三角函数问题．(2)与向量有关的三角函数问题．(3)三角函数的实际应用题．2．有关定理和公式(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)．(2)三角形面积公式：S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.专题十二│主干知识整合(3)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.(4)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂水平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时的夹角叫做仰角；目标视线在水平视线下方时的夹角叫做俯角．(5)方位角：一般是指北方向顺时针转到目标方向的水平角，在实际问题中，一般更明确地指出方位角的具体方向．要点热点探究专题十二│要点热点探究在斜三角形的研究中，除了三角形形状本身的研究，也会出现以三角形中的角为自变量的三角函数性质的研究，这里要注意因为三角形形状的影响，而带来自变量的取值范围的变化．例1已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a－cb－c＝sinBsinA＋sinC.(1)求角A；(2)若f(x)＝cos2(x＋A)－sin2(x－A)，求f(x)的单调递增区间．►探究点一三角形背景下的三角函数研究专题十二│要点热点探究【解答】(1)由a－cb－c＝sinBsinA＋sinC，得a－cb－c＝ba＋c，即a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理，得cosA＝12，所以A＝π3.(2)f(x)＝cos2(x＋A)－sin2(x－A)＝cos2x＋π3－sin2x－π3＝1＋cos2x＋2π32－1－cos2x－2π32＝－12cos2x.令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为kπ，kπ＋π2，k∈Z.【点评】第一小问中，需要将条件a－cb－c＝sinBsinA＋sinC统一为三角函数值或边长的等式，从而得到方程求出角或判断三角形形状．第二小问，首先还是需要将所给函数进行化归，再通过换元，转化为y＝cosx进行研究．专题十二│要点热点探究专题十二│要点热点探究向量背景下的三角函数的研究主要指的是所给向量的坐标用三角函数表示，以向量的数量积构造三角函数，并且进一步对所得三角函数进行研究．其中向量仅仅在其中起到的是给命题带“帽子”的作用．例2已知a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin2xcos2x－sinxcosx的值．►探究点二向量背景下的三角函数的研究专题十二│要点热点探究【解答】(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋2sin2x＋π4.∴当2x＋π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时，F(x)max＝2＋1，最小正周期为T＝2π2＝π.(2)∵f(x)＝2f′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx，即tanx＝13.∴1＋sin2xcos2x－sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－sinxcosx＝2tan2x＋11－tanx＝11923＝116.专题十二│要点热点探究【点评】本题中向量仅仅在其中提供数量积，数量积的坐标公式不能用错．三角函数性质的研究依然是首先进行三角化归，再换元处理．第二小问中涉及将所得齐次的三角分式转化为正切的式子这一三角化简技巧．专题十二│要点热点探究解三角形的实际应用问题主要是测量问题和航行问题，需要将所给实际问题转化为三角形后，用三角形知识和三角函数进行研究．例3如图12－1，一架飞机原计划从空中A处直飞相距680km的空中B处，为避开直飞途中的雷雨云层，飞机在A处沿与原飞行方向成θ角的方向飞行，在中途C处转向与原方向线成45°角的方向直飞到达B处．已知sinθ＝513.(1)在飞行路径△ABC中，求tanC；(2)求新的飞行路程比原路程多多少千米．(参考数据：2＝1.414，3＝1.732)图12－1►探究点三解三角形的实际应用问题专题十二│要点热点探究【解答】(1)因为sinθ＝513，θ是锐角，所以tanθ＝512，tanC＝tan[π－(θ＋45°)]＝－tan(θ＋45°)＝－tanθ＋tan45°1－tanθtan45°＝－512＋11－512×1＝－177.(2)sinC＝sin(θ＋45°)＝17226，由正弦定理ABsinC＝ACsin45°＝BCsinθ，得AC＝ABsinC×sin45°＝520，BC＝2002.新的飞行路程比原路程多AC＋BC－AB＝520＋2002－680＝122.8(km)．专题十二│要点热点探究【点评】航行问题中涉及方向角，首先构造相应的三角形或四边形，再将方向角转化为三角形或四边形中的角，这个过程也就是实际问题中的“将实际问题—转化为数学问题”建模过程．专题十二│要点热点探究三角函数的实际应用题指的是在实际问题中建立形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数模型，此类问题多见于几何图形中长度、角度、面积的研究．►探究点四三角函数的实际应用题专题十二│要点热点探究例4如图12－2，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝Asinωx＋2π3(A0，ω0)，x∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B(－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD，且CD∥EF.赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE.(1)求ω的值和∠DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．图12－2专题十二│要点热点探究【解答】(1)由条件，得A＝2，T4＝3.∵T＝2πω，∴ω＝π6，∴曲线段FBC的解析式为y＝2sinπ6x＋2π3.当x＝0时，y＝OC＝3.又CD＝3，∴∠COD＝π4，即∠DOE＝π4.(2)由(1)，可知OD＝6.又点P在弧DE上，故OP＝6.设∠POE＝θ，0θ≤π4，则“矩形草坪”的面积为S＝6sinθ(6cosθ－6sinθ)＝6(sinθcosθ－sin2θ)＝612sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin2θ＋π4－3.∵0θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S取得最大值．专题十二│要点热点探究【点评】本题中函数模型已经给定，无需建立，而只需要确定相关系数即可．第二小问中建立了面积与角的三角函数关系，用三角函数的性质求出最值．而在本题的变式题中用的是求导的方法研究最值．如图12－3，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB＝2π3，半径OA为1km，为了方便游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成．其中D在线段OB上，且CD∥AO，设∠AOC＝θ，(1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？图12－3专题十二│要点热点探究专题十二│要点热点探究【解答】(1)在△OCD中，由正弦定理，得CDsin∠COD＝ODsin∠DCO＝COsin∠CDO.又CD∥AO，CO＝1，∠AOC＝θ，所以CD＝23sin2π3－θ＝cosθ＋13sinθ，OD＝23sinθ.因为ODOB，所以sinθ32，所以0θπ3.所以CD＝cosθ＋13sinθ，θ∈0，π3.专题十二│要点热点探究(2)设道路长度为L(θ)，则L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的长＝1－23sinθ＋cosθ＋13sinθ＋θ＝cosθ－13sinθ＋θ＋1，θ∈0，π3.L′(θ)＝－sinθ－33cosθ＋1，由L′(θ)＝0，得sinθ＋π6＝32.又θ∈0，π3，所以θ＝π6.列表θ0，π6π6π6，π3L′(θ)＋0－L(θ)增函数极大值减函数所以当θ＝π6时，L(θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．规律技巧提炼专题十二│规律技巧提炼三角函数的综合问题中主要指的是在三角形中、在向量问题中、在实际问题中有关三角函数的运用．在这些问题中，要注意以下几个细节：1．三角形中要注意正余弦定理以及三角形边长和角之间关系的运用，其中角的范围是这类问题在处理时的细节．2．向量中的三角函数问题处理时要注意，如果向量的坐标形式与三角函数的定义一致，此时可以适当考虑几何图形的特征．3．实际问题中建立后的三角函数模型的研究由三种方法：(1)化归成基本三角函数模型研究；(2)用导数研究；(3)用基本不等式研究．专题十二│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2010·江苏卷]在锐角△ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB＝________.【分析】三角形问题中不仅仅有正余弦定理的运用，也有三角公式和三角化简的技巧的运用．在近四年的高考题中，这类三角函数和三角形结合在一起考查的问题也较为常见，难度为基础题和中档题为主．【答案】4【解析】方法一：当A＝B或a＝b时满足题意，此时有：cosC＝13，tan2C2＝1－cosC1＋cosC＝12，tanC2＝22，tanA＝tanB＝1tanC2＝2，tanC＝22，故tanCtanA＋tanCtanB＝4.方法二：ba＋ab＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2,6ab·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2，解得a2＋b2＝3c22.又tanCtanA＋tanCtanB＝sinCcosC·cosBsinA＋sinBcosAsinAsinB＝sinCcosC·sinA＋BsinAsinB＝1cosC·sin2CsinAsinB，由正弦定理，得上式＝1cosC·c2ab＝4.专题十二│江苏真题剖析在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1＋tanAtanB＝2cb，则角A的大小为________．π3【解析】由1＋tanAtanB＝2cb，得sinA＋BcosAsinB＝2sinCsinB，即cosA＝12，故A＝π3.专题十二│江苏真题剖析