2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题22 直线与圆的的基本问题

专题二十二直线与圆的的基本问题专题二十三直线与圆的定点、定值问题专题二十四直线与圆的最值问题第六单元直线与圆第六单元直线与圆知识网络构建第六单元│知识网络构建考情分析预测第六单元│考情分析预测考向预测回顾2008～2011年的考题中，在填空题中主要考查直线和圆的基本量的求解以及直线与圆的位置关系，难度以2011年的第14题最难.2008,2009年连续两年在解答题中考查了直线与圆的综合问题以及圆过定点等一些定值问题，与其他新课标省份的考查完全不同．预计在2012年的高考题中：(1)如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，则在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断．(2)在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为C级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题，最值问题等．第六单元│考情分析预测备考策略作为三大几何问题之一，直线与圆是高考的必考点，再加上有两个C级考点，故也是重点．在复习的过程中重点需要关注以下几个问题：1．直线与圆的基本量如k，b，r的求解，计算不能出错；2．直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法要准确掌握以及与之相关的问题也需要掌握基本求解方法如切线、弦长等；3．直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和多字母的代数式的化简．第六单元│考情分析预测专题二十二直线与圆的基本问题专题二十二直线与圆的基本问题主干知识整合专题二十二│主干知识整合1．斜率：k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)＝tanα.2．截距：直线在y轴上的截距是指直线与y轴的交点的纵坐标，简称纵截距；类似地，直线在x轴上的截距是指直线与x轴的交点的横坐标，简称横截距．专题二十二│主干知识整合专题二十二│主干知识整合三、两条直线位置关系的判定1．斜截式y＝kx＋b(1)平行：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔k1＝－1k2⇔k1k2＝－1.2．一般式Ax＋By＋C＝0(1)平行：l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A2C1≠A1C2(或B2C1≠B1C2)；(2)垂直：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.四、圆的方程1．标准方程：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，表示的是以r为半径，(a，b)为圆心的圆．2．一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)叫做圆的一般方程，其中圆心坐标为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F.专题二十二│主干知识整合五、直线与圆的位置关系1．直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交．2．判断方法：(1)代数法(判别式法)Δ0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ0⇔相离；(2)几何法，圆心到直线的距离dr⇔相交，d＝r⇔相切，dr⇔相离.专题二十二│主干知识整合六、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含．2．判断方法：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下关系：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dR＋rd＝R＋rR－rdR＋rd＝R－r0dR－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解要点热点探究专题二十二│要点热点探究►探究点一直线基本量的确定直线的基本量的问题主要涉及两个方面，一是直线方程的求解；二是与两直线位置关系有关的相关问题．专题二十二│要点热点探究例1(1)直线l过点(3，－2)及圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．(2)过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________．专题二十二│要点热点探究(1)120°(2)2x＋y－4＝0【解析】(1)依题意得，圆x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，过点(3，－2)与(0,1)的直线的斜率k＝1－－20－3＝－3，∴直线l的倾斜角大小为120°.(2)设直线方程为xa＋yb＝1(a1，b2)，又点(1,2)在直线l上，所以1a＋2b＝1，而1a＋2b≥22ab，即ab≥8，当且仅当a＝2，b＝4时，取等号．故直线方程为x2＋y4＝1，即直线l的方程是2x＋y－4＝0.专题二十二│要点热点探究【点评】(1)两点确定一条直线，每一条直线都有倾斜角，但倾斜角α为90°时，斜率不存在．(2)本题是根据直线与x、y轴的正半轴围成的三角形面积的最值确定直线方程的．面积的最值的求解，可以建立函数或用基本不等式求解．专题二十二│要点热点探究已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.35【解析】本题考查两直线垂直的充要条件．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，所以有2a＋3(a－1)＝0⇒a＝35.专题二十二│要点热点探究例2(1)若过点A(－2,0)的圆C与直线3x－4y＋7＝0相切于点B(－1,1)，则圆C的半径长等于________．(2)已知集合P＝x，y3x－4y＋3≥04x＋3y－6≤0y≥0，Q＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－b)2≤r2(r0)}，若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件，则当r最大时ab的值是________．►探究点二圆的基本量的求解圆的基本量问题主要指的是圆的方程的求解，其中一般式方程的求解较为简单，标准方程需要确定圆和图形的其他几何特征．专题二十二│要点热点探究(1)5(2)14【解析】(1)依题意，设圆C的圆心坐标为(a，b)，从而有a＋22＋b2＝a＋12＋b－12，b－1a＋1·34＝－1，得a＋b＋1＝0，4a＋3b＋1＝0⇒a＝2，b＝－3，则圆C的半径长等于a＋22＋b2＝5.专题二十二│要点热点探究(2)由题意得P所对应点集区域大于等于Q所对应点集区域，又P所对应点集区域为直角三角形，Q所对应点集区域为圆面，当r最大时，此时圆为直角三角形的内切圆．设圆心到三角形三边的距离分别为d1，d2，d3，专题二十二│要点热点探究所以有d1＝|3a－4b＋3|5＝r，d2＝|4a＋3b－6|5＝r，d3＝b＝r，又圆心位于三角形内部，所以3a－4b＋3≥0,4a＋3b－6≤0，即d1＝3a－4b＋35＝r，d2＝6－4a－3b5＝r，d3＝b＝r，解得a＝b＝12，即ab＝14.专题二十二│要点热点探究【点评】(1)本题以点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系为载体，确定圆的方程中的基本量半径．还需要注意的细节是不仅直线与圆相切，而且给出了切点坐标，即可多产生一个条件即半径与切线垂直．(2)三角形的内切圆的圆心和半径的求解一般有三个方法：①内切圆的圆心为三角形的三条角平分线的交点，可以求解角平分线方程，联立两条角平分线方程，即可求出圆心，再求半径．②内切圆的圆心到三条边的距离相等，通过三个方程组求出圆心和半径如本题解析中所用解法，要注意的一个细节是点到直线距离公式中的绝对值符号可以根据判断圆心在直线的某一侧去掉．③可以将三角形分解为三个小三角形，如图所示：所以S＝12r(a＋b＋c)．专题二十二│要点热点探究设a＞0，集合A＝x，yx≤3，x＋y－4≤0，x－y＋2a≥0，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤a2}．若点P(x，y)∈A是点P(x，y)∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是________．专题二十二│要点热点探究(0，2]【解析】画出集合A所表示的可行域，集合B表示以(1,1)为圆心，半径为a的圆周及圆内，由点P(x，y)∈A是点P(x，y)∈B的必要不充分条件，知B⊆A，且B≠A，只需3－1≥a，|1＋1－4|2≥a，|1－1＋2a|2≥a⇒a≤2，a≤2⇒a≤2，又a0，所以a的取值范围为(0，2]．专题二十二│要点热点探究►探究点二圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要研究两个方面，一是用几何方法判断圆与圆的位置关系；二是对应位置关系下的简单的几何特征如切线或弦长．例3在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为________．专题二十二│要点热点探究2－23，2∪(2,2＋23)【解析】依题意即是以点A2，2为圆心，半径为1的圆与以点B(m,0)为圆心，半径为3的圆相交，两圆相交时公切线只有两条．从而3－1AB3＋1，从而4(2－m)2＋2216⇒2－23m2或2m2＋23.【点评】本题中关键是圆的定义的运用和转化思想的运用．到定点的距离为定值的直线，其几何特征为以定点为圆心，距离为半径的圆的切线．圆与圆的公切线要注意两圆相离时，有四条公切线．专题二十二│要点热点探究在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．(－13,13)【解析】考查圆与直线的位置关系．圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，|c|131，c的取值范围是(－13,13)．专题二十二│要点热点探究►探究点四直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系问题中主要是研究定直线与定圆位置关系，也会出现动直线或动圆之间的位置关系问题．例4已知A(－2,0)，B(2,0)为椭圆C的左、右顶点，F(1,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的标准方程及离心率；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P(不同于A，B)，与椭圆在点B处的切线交于点D.当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．专题二十二│要点热点探究【解答】(1)由题意可设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，半焦距为c，因为A(－2,0)、B(2,0)为椭圆C的左、右顶点，F(1,0)为其右焦点，所以a＝2，c＝1.又因为a2＝b2＋c2，所以b＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1，离心率为12.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：如图，由题意可设直线l的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，专题二十二│要点热点探究则点D坐标为(2,4k)，BD中点E的坐标为(2,2k)．由y＝kx＋2，x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，则－2x0＝16k2－123＋4k2.所以x0＝6－8k23＋4k2，y0＝k(x0＋2)＝12k3＋4k2.因为点F坐标为(1,0)，当k＝±12时，点P的坐标为1，±32，点D的坐标为(2，±2)，直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆为(x－2)2＋(y±1)2＝1与直线PF相切．专题二十二│要点热点探究当k≠±12时，则直线PF的斜率kPF＝y0x0－1＝4k1－4k2.所以直线PF的方程为y＝4k1－4k2(x－1)．点E到直线PF的距离d＝8k1－4k2－2k－4k1－4k216k21－4k22＋1＝2k＋8k31－4k21＋4k2|1－4k2|＝2|k|.又因为|BD|＝4|k|，所以d＝12|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上，当直线l绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】本题中动直线与圆的位置关系问题，主要是判断d，r之间的关系是否与参数无关．要注意的细节是直线的斜率是否存在的问题．规律技巧提炼专题二十二│规律技巧提炼1．直线的基本量的求解(1)如果可以直接代入公式计算即可得结论的问题，要注意如斜率公式中x1≠x2这样的限制条件；(2)除了直接代入公式，还会出现直线与直线的位置关系，直线