2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题2 第7讲 平面向量

第7讲平面向量第7讲平面向量主干知识整合第7讲│主干知识整合1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1＝y2y1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.第7讲│主干知识整合4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．5．数量积(1)已知a，b的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)|a|2＝a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．要点热点探究第7讲│要点热点探究例1(1)a，b是不共线的向量，若AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0(2)[2011·山东卷]设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上►探究点一平面向量的概念及线性运算第7讲│要点热点探究【分析】(1)由于向量AC→，AB→有公共起点，因此三点A，B，C共线只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC→＝λAB→，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉λ即得结论；(2)根据各点的坐标以及向量的共线的关系，找出c，d所满足的关系式，再根据各个选项进行分析判断．第7讲│要点热点探究(1)D(2)D【解析】(1)只要AC→，AB→共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC→＝λAB→，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.(2)由新定义知，AC→＝λAB→，即(c,0)＝λ(1,0)，∴λ＝c.同理AD→＝μAB→，即(d,0)＝μ(1,0)，∴μ＝d，又1λ＋1μ＝2，∴1c＋1d＝2.若点C为线段AB中点，则1λ＝2，与1λ＋1μ＝2矛盾，所以C不为线段AB中点，同理D不为线段AB中点．若点C，D同在线段AB上，则1c＋1d2，∴只能一个点在线段AB上，另一个点在线段AB的延长线上．第7讲│要点热点探究【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a，b不共线，那么λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA→＝xOB→＋yOC→，则A，B，C三点共线的充要条件是x＋y＝1.第7讲│要点热点探究(1)如图7－1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→(m，n0)，则1m＋4n的最小值为()图7－1A．2B．4C.92D．9(2)[2011·湖南卷]设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．第7讲│要点热点探究(1)C(2)(－4，－2)【解析】(1)MO→＝AO→－AM→＝AB→＋AC→2－1mAB→＝12－1mAB→＋12AC→，同理NO→＝12－1nAC→＋12AB→，M，O，N三点共线，故12－1mAB→＋12AC→＝λ12－1nAC→＋12AB→，即12－1m－λ2AB→＋12－λ2＋λnAC→＝0.由于AB→，AC→不共线，根据平面向量基本定理12－1m－λ2＝0且12－λ2＋λn＝0，消掉λ即得m＋n＝2，故1m＋4n＝12(m＋n)1m＋4n＝125＋nm＋4mn≥12(5＋4)＝92.正确选项为C.(2)因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ0)，所以a＝(2λ，λ)．由a＝25，得2λ2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．第7讲│要点热点探究例2如图7－2，P为△AOB所在平面内一点，向量OA→＝a，OB→＝b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为()图7－2A．5B．3C.52D.32►探究点二平面向量的数量积第7讲│要点热点探究【分析】求解的数量积中，a－b＝BA→，设AB中点为D，则c＝OP→＝OD→＋DP→，其中DP→·BA→＝0，这样就把求解的数量积转化为OD→·BA→，问题就归结为关于a，b的数量积上．C【解析】设AB中点为D，c＝OP→＝OD→＋DP→，所以c·(a－b)＝(OD→＋DP→)·BA→＝OD→·BA→＋DP→·BA→＝OD→·BA→＝12(a＋b)·(a－b)＝12(|a|2－|b|2)＝52.【点评】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．第7讲│要点热点探究(1)[2011·课标全国卷]已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3；p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，π；p3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3；p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π.其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4(2)在△OAB中，设OA→＝a，OB→＝b，则OA边上的高等于________．第7讲│要点热点探究(1)A(2)|a|2|b|2－a·b2|a|【解析】(1)因为a＋b1⇔a2＋2a·b＋b21⇔a·b－12⇔abcosθ＝cosθ－12⇔θ∈0，2π3，所以p1为真命题，p2为假命题．又因为a－b1⇔a2－2a·b＋b21⇔a·b12⇔abcosθ＝cosθ12⇔θ∈π3，π，所以p4为真命题，p3为假命题．(2)设∠AOB＝θ，那么cosθ＝a·b|a||b|，则sinθ＝1－cos2θ＝|a|2|b|2－a·b2|a||b|，OA边上的高等于|OB→|sinθ＝|b||a|2|b|2－a·b2|a||b|＝|a|2|b|2－a·b2|a|.第7讲│要点热点探究例3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1→·PA→的取值范围；(3)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且AH→2＝MH→·HN→，求证：直线l恒过定点．►探究点三平面向量的共线与垂直的综合运用第7讲│要点热点探究【解答】(1)由已知得c＝1，a＝2，b＝3，∴所求椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设P(x0，y0)，又A(－2,0)，F1(－1,0)，∴PF1→·PA→＝(－1－x0)(－2－x0)＋y20＝14x20＋3x0＋5.由于P(x0，y0)在椭圆上，∴－2≤x0≤2，可知f(x0)＝14x20＋3x0＋5在区间[－2,2]上单调递增，∴当x0＝－2时，f(x0)取最小值为0；当x0＝2时，f(x0)取最大值为12，∴PF1→·PA→的取值范围是[0,12]．【分析】(1)待定系数法；(2)用椭圆上点P的坐标表示出数量积PF1→·PA→，根据椭圆上点的坐标的范围求解；(3)根据已知的垂直关系和向量等式，求出AM→·AN→，然后使用韦达定理代入，得出直线方程中的参数k，m的关系，再根据这个关系确定直线系过的定点．第7讲│要点热点探究(3)由y＝kx＋m，x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ0得4k2＋3m2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2，AM→·AN→＝(AH→＋HM→)·(AH→＋HN→)＝AH→2＋AH→·HN→＋HM→·AH→＋HM→·HN→＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝0，即(1＋k2)x1x2＋(2＋km)(x1＋x2)＋4＋m2＝0，∴4k2－16km＋7m2＝0，∴k＝12m或k＝72m，均适合．当k＝12m时，直线过A点，舍去．当k＝72m时，直线y＝kx＋27k过定点－27，0.第7讲│要点热点探究【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM→·AN→＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k，m的方程，确定k，m的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．第7讲│要点热点探究已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y＝43x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不同于A1，A2)，直线A1P、A2P分别与直线l：x＝95交于M、N两点．(1)求双曲线的方程；(2)求证：FM→·FN→为定值．第7讲│要点热点探究【解答】(1)依题意可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，则ba＝43，c＝5，c2＝a2＋b2⇒a＝3，b＝4，∴所求双曲线方程为x29－y216＝1.(2)A1(－3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设P(x，y)，M95，y0，A1P→＝(x＋3，y)，A1M→＝245，y0，∵A1、P、M三点共线，∴(x＋3)y0－245y＝0，∴y0＝24y5x＋3，即M95，24y5x＋3.同理得N95，－6y5x－3.∴FM→＝－165，24y5x＋3，FN→＝－165，－6y5x－3，∴FM→·FN→＝25625－14425·y2x2－9.∵x29－y216＝1，∴y2x2－9＝169，∴FM→·FN→＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM→·FN→＝0为定值．第7讲│要点热点探究►创新链接4平面向量中的最值、范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两