2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题5 第17讲 圆锥曲线热点问题

第17讲圆锥曲线热点问题第17讲圆锥曲线热点问题主干知识整合第17讲│主干知识整合1．曲线与方程的概念2．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．第17讲│主干知识整合3．求曲线方程的方法求曲线方程的方法，除了直接法、定义法和待定系数法外，最为常见的就是代入法、参数法和交轨法．(1)代入法：当形成曲线的动点P(x，y)，随着另一个在已知曲线f(x，y)＝0上的动点Q(x0，y0)有规律的运动时，利用这种规律就能得到x0＝φ(x，y)，y0＝φ(x，y)，而x0，y0满足f(x0，y0)＝0，将x0＝φ(x，y)，y0＝φ(x，y)代入就可得到动点P(x，y)所形成的曲线的方程．第17讲│主干知识整合(2)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．(3)交轨法：有些情况下，所求的曲线是由两条动直线的交点P(x，y)所形成的，既然是动直线，那么这两条直线的方程就必然含有变动的参数，通过解两直线方程所组成的方程组，就能将交点P(x，y)的坐标用这些参数表达出来，也就求出了动点P(x，y)所形成的曲线的参数方程，消掉参数就得到了动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．要点热点探究第17讲│要点热点探究►探究点一轨迹问题例1[2011·安徽卷]设λ0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P的轨迹方程．图17－1【分析】本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念、性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．第17讲│要点热点探究【解答】由QM→＝λMP→知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x，1－y0)，解得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λy0－λ.②将①式代入②式，消去y0，得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x21，第17讲│要点热点探究再将③式代入y1＝x21，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ＞0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.第17讲│要点热点探究[2011·天津卷]在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1、F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．【解答】(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c.整理得2ca2＋ca－1＝0.得ca＝－1(舍)，或ca＝12.所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c.第17讲│要点热点探究消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)．设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝x，y＋3c.由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)．由AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2，化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．第17讲│要点热点探究►探究点二定点、定值例2已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．第17讲│要点热点探究【分析】(1)待定系数；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA→＝λAF→，MB→＝μBF→把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．第17讲│要点热点探究【解答】(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，又F坐标为(1,0)，设l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，x24＋y23＝1消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－x1＋x2＋x1x2＝8k23＋4k2－24k2－123＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.第17讲│要点热点探究(3)当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK的中点N52，0，猜想：当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N52，0，证明：由(2)知A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(4，y1)，E(4，y2)，当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点52，0，第17讲│要点热点探究∵lAE：y－y2＝y2－y14－x1(x－4)，当x＝52时，y＝y2＋y2－y14－x1·－32＝24－x1·y2－3y2－y124－x1＝24－x1·kx2－1－3kx2－x124－x1＝－8k－2kx1x2＋5kx1＋x224－x1＝－8k3＋4k2－2k4k2－12＋5k·8k224－x1·3＋4k2＝0.∴点N52，0在直线lAE上．同理可证，点N52，0也在直线lBD上．∴当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点52，0.第17讲│要点热点探究已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝22，左、右焦点分别为F1、F2，点P(2，3)，点F2在线段PF1的中垂线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标．【解答】(1)由椭圆C的离心率e＝22，得ca＝22，其中c＝a2－b2，椭圆C的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|＝|PF2|，∴(2c)2＝(3)2＋(2－c)2，解得c＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.第17讲│要点热点探究(2)由题意直线MN的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－22k2＋1，且kF2M＝kx1＋mx1－1，kF2N＝kx2＋mx2－1，由已知α＋β＝π得kF1M＋kF2N＝0，即kx1＋mx1－1＋kx2＋mx2－1＝0.化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，∴2k·2m2－22k2＋1－4kmm－k2k2＋1－2m＝0，整理得m＝－2k.∴直线MN的方程为y＝k(x－2)，因此直线MN过定点，该定点的坐标为(2,0)．第17讲│要点热点探究例3已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m3)与椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求AP→·AQ→的取值范围．图17－2►探究点三参数的范围问题与最值问题第17讲│要点热点探究【解答】(1)点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5.∵m＜3，∴m＝1.圆C：(x－1)2＋y2＝5.设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.∵直线PF1与圆C相切，∴|k－0－4k＋4|k2＋1＝5.解得k＝112，或k＝12.当k＝112时，直线PF1与x轴的交点横坐标为3611，不合题意舍去．当k＝12时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4.F1(－4,0)，F2(4,0).2a＝AF1＋AF2＝52＋2＝62，a＝32，a2＝18，b2＝2.椭圆E的方程为x218＋y22＝1.第17讲│要点热点探究(2)AP→＝(1,3)，设Q(x，y)，AQ→＝(x－3，y－1)，AP→·AQ→＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.∵x218＋y22＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．x＋3y的取值范围是[－6,6]．∴AP→·AQ→＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]．第17讲│要点热点探究例4[2011·北京卷]已知椭圆G：x24＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【解答】(1)由已知得a＝2，b＝1.所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e＝ca＝32.(2