2.5.3立体几何复习(三)-空间角的求法

立体几何复习空间角作(找)---证---指出---算---结论关键在三角形中计算（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2].平移直线成相交直线:(1)利用中位线,平行四边形;(2)利用线段成比例;(3)补形法.作(找)---证---指出---算---结论关键在三角形中计算作(找)---证---指出---算---结论关键在三角形中计算sABCEF例1.正四面体S-ABC中,如果E、F分别是SC、AB的中点,那么异面直线EF和SA所成的角=_______.G空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)---证(指出)---算---结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)---证(指出)---算---结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1OFE空间角(线线角,线面角,二面角)作(找)---证(指出)---算---结论在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;(2)直线D1B和B1C所成的角ABDCA1B1D1C1EPABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=2，MN=，求PA与BC所成的角？E3,,,:ENEMEAB连结中点取解.,,的中点分别是ACPBNMBCENPAEM//,//)(,或其补角所成的角是直线BCPAMEN,3,1,MNENEMMEN中在232sinMEN0602MEN0120MEN060,所成的角为直线BCPA(二)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2].确定射影的方法(找斜足和垂足):(1)如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上.(2)两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上.作(找)---证---指出---算---结论关键在三角形中计算(3)利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心.▲当点的射影位置不易确定时，可用等体积法直接求垂线长..,2,,111111所成的角与平面求直线长为侧棱的底面边长为正三棱柱BBAAACaaCBAABCABCA1B1C1D;)2(;)1(.60,45,,,,00所成的角的正弦值与平面所成的角与平面求两两垂直中四面体ABCSCSABBCSBCSBASCSBSAABCSABCSaa3a2aa2a2D（2）PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.06021223336PACB0O例1：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1,∠BCA=，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A.B.C.D.10302115301015090AC例2：在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点.（1）求CD与AF所成的角的余弦值；（2）求直线CE与平面BCD所成的角的正弦值.ACDBEFGH思维点拨：准确作出线线、线面角是关键，熟记正四面体中的一些量对解题有帮助.6332(三)二面角：范围是[0，π].作(找)---证---指出---算---结论关键在三角形中计算①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.斜面面积和射影面积的关系公式：(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.cosSSSSABCOαD▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法直接求平面角的余弦值.例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是,求二面角A-BD-C的大小。2ABCDO.,,:BOAOOBD连结的中点取解CDBCADAB,BDCOBDAO,.的平面角是二面角CBDAAOC0902,1,AOCACOCOAAOC中在.900的大小为二面角CBDA（作）)(证（指出）)(算（结论）作(找)---证(指出)---算---结论练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,求:(1)二面角A-BD-A1的正切值;(2)二面角A1-AD-B的大小.ABCDA1B1C1D1O解:连结AC,交BD于O,连结OA1由正方体的性质可知,BD⊥OA,BD⊥AA1OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线∴BD⊥平面AOA1∴BD⊥OA1∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.2tan,22,1,,11111AOAAAOAAOAAAOARt中在设正方体的棱长为作(找)---证(指出)---算---结论在正方体AC1中，E为BC中点,(1)求证:D1B//平面C1DE;(2)求二面角C1-ED-C的正切值.ABDCA1B1D1C1EO在正方体AC1中，E为BC中点,(1)求证:D1B//平面C1DE;(2)求二面角C1-ED-C的正切值.ABDCA1B1D1C1EH例3：（1）如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的正切值是____.OABCDA1B1C1D1COA（2）在一个450的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成450角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（）A)300B)450C)600D)9002NABCB1C1A1Q例4：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。思维点拨：三垂线定理法求二面角.36例5:如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的正切值.BACDD1A1B1C1E分析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E.不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线.5F例6:如图，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到平面、的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,求垂足的连线CD的长PEDCl分析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则角CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明∠CED为二面角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明P、D、E、C四点共面.故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角.例7：在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的正切值大小；(2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的正切值大小.PADCBEFOPADCBMNQCDEA’例8：在的二面角角,，已知点A和B到棱的距离分别为2和4，且AB=10。求（1）直线AB与棱a所成的角的正弦值；（2）直线AB与平面β所成的角的正弦值.aBA,0120例9：在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为BC与A1D1的中点,（1）求直线A1C与DE所成的角；（2）求直线AD与平面B1EDF所成的角；(3)求面B1EDF与面ABCD所成的角。POHM第（3）小题也可以应用面积射影法.