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抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)第七节正弦定理和余弦定理抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)一、正弦定理、余弦定理抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)二、三角形常用面积公式1.S=12a·ha(ha表示边a上的高).2.S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.3.S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).[疑难关注]在△ABC中,已知a,b和A时,其解的情况如下:抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)1.(课本习题改编)已知△ABC中a=1,b=2,B=45°,则A的大小为()A.150°B.90°C.60°D.30°解析:由正弦定理得1sinA=2sin45°,∴sinA=12.∵ab,∴AB,∴A=30°.答案:D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)2.△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C的度数是()A.60°B.45°或135°C.120°D.30°解析:由a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2,得cos2C=a2+b2-c222ab2=a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2-2b2c24a2b2=12,∴cosC=±22.∴角C为45°或135°.答案:B抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)3.(课本习题改编)在△ABC中,B=60°,a=1,b=3,则S△ABC等于()A.2B.3C.32D.2解析:由正弦定理得3sin60°=1sinA,sinA=12,A=30°,又∵B=60°,∴C=90°,即△ABC为直角三角形.∴S△ABC=12×1×3=32.答案:C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)4.(2013年北京西城模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2则边c=________.解析:依题意得,sinA=3sinC,即a=3c,根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,即4=3c2+c2-23c2×32,解得c=2.答案:2抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)5.(2012年高考福建卷)在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,BC=3,则AC=________.解析:本题可利用正弦定理求解.根据正弦定理,得ACsinB=BCsinA,故AC=BC·sinBsinA=3sin45°sin60°=3×2232=2.答案:2抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)考向一利用正、余弦定理解三角形[例1](2012年高考浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsinA=3acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.[解析](1)由bsinA=3acosB及正弦定理asinA=bsinB,得sinB=3cosB.所以tanB=3,所以B=π3.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)(2)由sinC=2sinA及asinA=csinC,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac.所以a=3,c=23.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)1.(2013年济南质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosA2=255,AB→·AC→=3.(1)求△ABC的面积;(2)若c=1,求a,sinB的值.解析:(1)∵cosA=2cos2A2-1=2×2552-1=35,而AB→·AC→=|AB→|·|AC→|·cosA=35bc=3,∴bc=5.又A∈(0,π),∴sinA=45,∴△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×5×45=2.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)(2)由(1)知bc=5,而c=1,∴b=5.∴a2=b2+c2-2bccosA=52+12-2×1×5×35=20,∴a=25.又asinA=bsinB,∴sinB=bsinAa=5×4525=255.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)考向二三角形形状的判断[例2](2012年高考上海卷)在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定[解析]用正弦定理将正弦关系转化为边的关系.由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=2R,∴sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.∵sin2A+sin2Bsin2C,∴a24R2+b24R2c24R2,∴a2+b2c2,抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)∴cosC=a2+b2-c22ab0,∴C为钝角,△ABC为钝角三角形.[答案]C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)2.(2013年蚌埠模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosAcosB=ab,则△ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析:解法一由正弦定理得cosAcosB=ab=sinAsinB,∴sinAcosB=cosAsinB,即sin(A-B)=0,可得A-B=0,∴A=B.解法二由余弦定理将角化为边,可得a=b.所以三角形为等腰三角形.答案:A抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)3.(2013年苏北四市联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.(1)求角A的大小;(2)若sinB·sinC=sin2A,试判断△ABC的形状.解析:(1)由已知得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又∠A是△ABC的内角,∴A=π3.(2)由正弦定理,得bc=a2,又b2+c2=a2+bc,∴b2+c2=2bc.∴(b-c)2=0,即b=c.∴△ABC是等边三角形.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)考向三与三角形面积有关的问题[例3](2012年高考浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=23,sinB=5cosC.(1)求tanC的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.[解析](1)因为0Aπ,cosA=23,得sinA=1-cos2A=53.又5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=53cosC+23sinC,所以tanC=5.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)(2)由tanC=5,得sinC=56,cosC=16.于是sinB=5cosC=56,由a=2及正弦定理asinA=csinC,得c=3.设△ABC的面积为S,则S=12acsinB=52.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)在本例(2)条件下,条件若变为“△ABC的面积为5”,试求b,c的值.解析:由(1)知tanC=5,∴sinC=56,cosC=16.∴sinB=5cosC=56,∴sinB=sinC,即b=c.①又cosA=23,∴sinA=1-cos2A=53.S△ABC=12bcsinA=5.∴bc=6.②由①②知,b=c=6.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)【易错警示】忽视三角形中的边角大小关系而致误【典例】(2013年长春模拟)在△ABC中,∠A=π3,BC=3,AB=6,则∠C=()A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)【错解】由正弦定理BCsinA=ABsinC,则sinC=ABsinABC=22.∴∠C=π4或3π4,选A.【错因】上述错误在于求出sinC=22时,忽视了BC与AB的大小从而产生多解.【解析】由正弦定理得BCsinA=ABsinC,则sinC=ABsinABC=6sinπ33=22,又BCAB,所以∠A∠C,所以∠C=π4,选C.【答案】C抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)【防范指南】利用正弦定理求角时,在求出角的正弦值后,要注意利用“大边对大角,小边对小角”去作出判断.抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)1.(2012年高考湖北卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为()A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4解析:由余弦定理找出a,b,c的关系是关键.∵ABC,∴abc.设a=b+1,c=b-1,由3b=20acosA得3b=20(b+1)×b2+b-12-b+122bb-1.化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-87(舍去),∴a=6,c=4.∴sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.答案:D抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)2.(2012年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-14,则b=________.解析:将b+c=7变形为c=7-b后,利用余弦定理求解.在△ABC中,由b2=a2+c2-2accosB及b+c=7知,b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×-14,整理得15b-60=0.∴b=4.答案:4抓主干双基知能优化菜单悟真题透析解题策略研考向要点知识探究隐藏提素能高效题组训练2014·新课标高考总复习·数学(B·理)3.(2012年高考江西
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