高考数学《立体几何》练习题及答案

立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．2B．1C．D．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题]在正方体1111ABCDABCD中，动点E在棱1BB上，动点F在线段11AC上，O为底面ABCD的中心，若1,BExAFy，则四面体OAEF的体积A．与,xy都有关B．与,xy都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．354D．4515【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题]在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题]圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的体积为________.【答案】33π24R10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】411．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题]如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若1BP∥平面1ABM，则1CP的最小值是________．【答案】305【解析】【分析】由面面平行找到点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，再找出点P的位置，使1CP取得最小值，即1CP垂直DN于点O，最后利用勾股定理求出最小值.【详解】取BC中点N，连接11,,BDBNDN，作CODN，连接1CO，因为平面1BDN∥平面1ABM，所以动点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，当点P与点O重合时，1CP取得最小值，因为1115222552DNCODCNCCO，所以221min11130()155CPCOCOCC.故1CP的最小值是305.【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．【答案】213【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ平面PAB，OG平面ABCD，E为AB中点，四边形OGEQ为矩形，112OQGEBC，22333PQPE，外接球的半径：22213RGEPQ.故答案为213.【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP平面BCP，90APB，BPBC，M为CP的中点．求证：（1）AP//平面BDM；（2）BMACP平面．【解析】（1）设AC与BD交于点O，连接OM，因为ABCD是平行四边形，所以O为AC中点，因为M为CP的中点，所以AP∥OM，又AP平面BDM，OM平面BDM，所以AP∥平面BDM．（2）平面ABP平面BCP，交线为BP，因为90APB，故APBP，因为AP平面ABP，所以AP平面BCP，因为BM平面BCP，所以APBM．因为BPBC，M为CP的中点，所以BMCP．因为APCPP，APCP，平面ACP，所以BM平面ACP.16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）]如图，在四棱锥ABCDV中，二面角DBCV为60，E为BC的中点.（1）证明：VEBC；（2）已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60，求.VAVFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．【解析】【分析】（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l；（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面PCD所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD⊂平面PCD．∴AB∥平面PCD，∵AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，∴AB∥l；（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，且AB=2，∴13BEAEAEBC,,，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则020,002,310,300DPCE,,,,,,,,，∴0,1,1F，3000,11310022AEAFDCDP,,,,,,,,,,，设平面PCD的法向量为,,xyzn，有0PDn，0CDn，得133，，n，设1AQACAP，则321AQ,,，再设(3,,)AQmAEnmnnAF，则3321mnn，解之得23mn，∴2223333AQ,,，设直线AQ与平面PCD所成角为α，则3105sincos,35AQAQAQnnn，∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为310535．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题]已知三棱柱111ABCABC中，1ABACAA，侧面11ABBA底面ABC，D是BC的中点，160BBA，1BDAB.（1）求证：ABC△为直角三角形；（2）求二面角1CADB的余弦值．【解析】（1）取AB中点O，连接OD，1BO，易知1ABB△为等边三角形，从而得到1BOAB，结合1BDAB，可根据线面垂直判定定理得到AB平面1BOD，由线面垂直的性质知ABOD，由平行关系可知ABAC，从而证得结论；（2）以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC和平面ADB的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果.【详解】（1）取AB中点O，连接OD，1BO，在1ABB△中，1ABBB，160BBA，1ABB△是等边三角形，又O为AB中点，1BOAB，又1BDAB，111BOBDB，11,BOBD平面1BOD，AB平面1BOD，OD平面1BOD，ABOD，又ODAC∥，ABAC，∴ABC△为直角三角形.（2）以O为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12ABACAA，则1,2,0C，1,0,0A，0,1,0D，1,0,0B，10,0,3B，11,0,3BB，0,2,0AC，1,1,0AD，1111,2,3ACACCCACBB，设平面1ADC的法向量为,,xyzm，10230ADxyACxyzmm，令1x，则1y，3z，1,1,3m，又平面ADB的一个法向量为0,0,1n，315cos,5113mn，二面角1CADB为钝二面角，二面角1CADB的余弦值为155.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD,2AB,1BC，2PCPD，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角EACD的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AMBD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF.因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点.又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD平面,ACEEF平面ACE，所以PD∥平面ACE.（2）取CD的中点O，连接PO，FO.因为底面ABCD为矩形，所以BCCD.因为PCPD，OCD为中点，所以,POCDOF∥BC，所以OFCD.又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO平面,PCD平面PCD∩平面ABCD=CD.所以PO⊥平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222ACBPE，,，设平面ACE的法向量为(,,)xyzm，131(1,2,0),(,,)222ACAE，所以20,2,0,131.00222xyxyACzyxyzAEmm令1y，则2,1xz，所以2,11（，）m.平面ACD的法向量为(0,0,1)OP，则6cos,6OPOPOPmm|m|.如图可知二面角EACD为钝角，所以二面角EACD的余弦值为66.（3）在棱PD上存在点M，使AMBD.设([0,1]),(,,)PMMxyzPD，则,01,0PMPDD（，）.因为(,,1)(0,1,1)xyz，所以(0,,1)M.(1,1,1),(1,2,0)AMBD.因为AMBD，所以0AMBD.所以12(1)0，解得1=[0,1]