【精品PPT课件】微分几何

微分几何主讲人：周小辉第一章曲线论1、向量函数向量函数的极限、连续、微商、积分2、曲线的概念曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。3、空间曲线3、1空间曲线的密切平面3、2空间曲线的基本三棱形3、3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3、4空间曲线在一点邻近的结构3、5空间曲线的基本定理3、6一般螺线内容提要回顾向量代数一、向量的概念1、向量的定义。2、向量的表示3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）4、向量的坐标。},,{221122112211222111321yxyxxzxzzyzyzyxzyxeeeba},,{212121zzyyxxba},,{zyxa212121),cos(zzyyxxbababa成右手系垂直与,,),,sin(bababababa二、向量的运算（几何意义）1、加减法：2、数乘：3、内积：4、外积：5、混合积：6、二重向量积：7、Lagrange恒等式8、模：方向余弦：333222111)()(zyxzyxzyxcbacbaacbbcacba)()()(222zyxacos,cos,cosdbcbdacadcba)()(0baba0//baba0)(,,cbacba共面四、运算规律、几个充要条件1、2、3、三、几种运算的几何意义第一节向量函数向量函数的概念：给出一点集G，如果对于G中的每一个点，有一个确定的向量和它对应，则说在G上给定了一个向量函数，记作例如设G是实数轴上一区间，则得一元向量函数设G是一平面域，，则得二元向量函数设G是空间一区域，，得三元向量函数,),(Gxxrrrx],[0tt).(trrGvu),().,(vurrGzyx),,(),,(zyxrra)(tr0000ttatr)(0tt)(traatrtt)(lim01、定义设是所给的一元函数，是常向量，如果对任给的，都存在数，使得当时,有成立，则说当时，向量函数趋向于极限，记作1、1向量函数的极限2、向量函数的性质命题1如果和是两个一元函数，是一个实函数，并且当时，有则有)(tr)(ts)(t0ttmtbtsatr)(,)(,)(.)()(batstr.)()(amtrt.)()(batstr.)()(batstr（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。（3）数量积的极限等于极限的数量积。（4）向量积的极限等于极限的向量积。1、2向量函数的连续性).()(lim00trtrtt1、给出一元向量函数，当tt0时，若向量函数,则称向量函数在t0点是连续的。也有)(tr)(0tr)(tr)(tr)(tr)(tr2、如果在闭区间[t1,t2]的每一点都连续，则称在区间[t1,t2]上是连续的。3、命题2如果和是在点t0连续的向量函数，而是点t0连续的实函数，则向量函数和实数也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0]时，命题也成立）。)(t)()(),()(),()(tstrtrttstr)(tr)(ts()()rtst1、3向量函数的微商),(210tttttrttrt)()(lim000)(tr).(0trtdtrd或)(tr)(tr1、设是定义在区间[t1,t2]上的向量函数，设，如果极限存在，则称在t0点是可微分的，这个极限称为在t0点的微商（或导矢）。记为即如果在某个开区间的每一点都有微商存在，则说在此区间内是可微的或简称向量函数是可微的，它的微商记为ttrttrtrdtrdtt)()(lim)(00000)(tr)(tr)(tr)(tr2、命题3设分别是可微的向量函数，是可微的实函数，则都是可微函数，并且),()(tstr),()(tstr),()(tstr))(),(),((tutstr)(),(),(tutstr)(t),()(trt,)(,)(,)(srsrsrsrsrrrr),,(),,(),,(),,(,)(usrusrusrusrsrsrsr).()(trn,)(tr)(tr)(tr)(tr)(tr)(tr)(tr3、向量函数的微商仍为t的一个向量函数，如果函数也是连续和可微的，则的微商称为的二阶微商。类似可定义三阶、四阶微商。如5、任一向量函数与三个实函数一一对应，即有)(tr)(),(),(tztytx321)()()()(etzetyetxtr1)()(etrtx321)()()()(etzetyetxtr1ekCkC1e)(tr)(),(tztykC证明将两边点乘得由于是常向量，而是类的，所以x(t)是类函数同理，是类函数。kCkC)(tr],[21tt],[21tt)(),(),(tztytx命题4如果向量函数在上是类函数，则向量函数所对的三个实函数在上是类函数。4、在区间[t1,t2]上有直到k阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数或类函数，连续函数也称为类函数，无限可微的函数记为类函数。解析函数记为类函数。CC0CkC)},(),(),({)}(),(),({tztytxrtztytxr1、4向量函数的泰勒公式2、当时，我们可以把它展成泰勒级数3、如果，则上述泰勒级数是收敛的。)(!)()(!2)()()()(0)(02000trnttrttrttrttrnnCtr)(Ctr)()(tr],[00ttt1nC)],()([)!1()()(!)()(!2)()()()(00)1()1(0)(02000tttrnttrnttrttrttrttrnnnn0t.0),(0tt1、定理设向量函数在上是类函数，则有泰勒展开式其中时)],()([)!1()()(!)()(!2)()()()(010)1()1(0)(02000tttxnttxnttxttxttxttxnnnn)],()([)!1()()(!)()(!2)()()()(020)1()1(0)(02000tttynttynttyttyttyttynnnn)],()([)!1()()(!)()(!2)()()()(030)1()1(0)(02000tttznttznttzttzttzttznnnn证明1、5向量函数的积分1、定义如果向量函数是可积的，则有niiiibanttrdttr11))((lim)()(trbabababadttzedttyedttxedttr)()()()(321)(trbabadttrmdttrm)()(,)()(babadttrmdttrmbabadttrmdttrm)()().(])([xrdttrdxdxabccabadttrdttrdttr)()()(badttr)(m2、命题5如果向量函数是区间[a,b]上的连续函数，则积分存在，并且（1）当acb时有（2）m是常数时有（3）如果是常向量，则有（4）)(tr)(tr)(tr)(tr)(tr.0rr.0),,(rrr常数22)()(trtr3、命题6(1)向量函数具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，都与垂直。(2）有固定方向的充要条件是（3）平行于固定平面的充要条件是证明因为x(t),y(t),z(t)为连续函数，所以在[a,b]上可积，由它对应的向量函数也可积，且有123()()()()bbbbaaaartdtextdteytdteztdt4、旋转速度：定义为向量函数对于变量t的旋转速度。tt0lim)(ttr)(tr)(trO)(ttr)(trOMM)(tr)(trMMMMttrttrMMMMtMMtMMt)()()(lim0trtt命题7单位向量函数对于t的旋转速度等于其微商的模证明如图所以第二节曲线的概念2、1曲线的概念2、曲线一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。1、映射给出两个集合E，，法则f，如果通过E中每个点（或元素）x，有中唯一的点与之对应，则说f为从E到的映射，为象，x为原象。一一映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：中元素都有原象。双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。ExEExExyzoM321sincos},sin,cos{)(ebtetaetabttatatr3、曲线的参数方程坐标式bta)()()(tzztyytxx例书中的开圆和圆柱螺线。-101-101024321)()()()(etzetyetxtr向量式cossinxatyat(0,2)t例1、开圆弧btzttaytax.,sincos例2、圆柱螺线或2、2光滑曲线曲线的正常点kC1C1、光滑曲线如果曲线的参数表示式中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为类曲线。类的曲线又称为光滑曲线。321)()()()(etzetyetxtr.0)(0tr2、正常点曲线上满足一阶微商不为零的点叫曲线的正常点。即若t0为曲线的正常点，则由于所以中至少有一个不为零321)()()()(etzetyetxtr321)()()()(etzetyetxtr)(),(),(000tztytx0)(0tr例如圆柱螺线由于b不为0，由z=bt得t=z/b，代入x=acost,y=asint得x=acos(z/b)y=asin(z/b)。这是圆柱螺线的另一种表示法。},cos,sin{)(},sin,cos{)(btatatrbttatatr3、正则曲线若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。0)(0tx).(,)(xzxy由中至少有一个不为零不妨设,则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在t0邻近有连续可微的反函数t=t(x),代入y=y(t),z=z(t)，即得这是曲线的另一种表示方法。)(),(),(000tztytx0)(0tr2、3曲线的切线和法面)(0ttQ)(0tPRO2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）设切线上任一点的径矢为则设则(,,)XYZ)()()(//)(0000trtrtrtr,)}(),(),({)(0000tztytxtr)}(),(),({)(0000tztytxtr)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX3、例求圆柱螺线上一点处的切线。00000()()()limlimttr