必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算分析

1立体几何专题：空间角和距离的计算一线线角1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。F1D1B1C1A1BAC2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角，（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小；ABCDPE二．线面角1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D1F和AB和所成的角；（2）求D1F与平面AED所成的角。CDEFD1C1B1A1AB2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角的大小。B1C1A1BAC2三．二面角1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点，（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的大小。DB1C1A1BAC2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；（2）求SC与面ABCD所成的角。BADCS3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角B—AA1—C的大小。B1C1BACA1四空间距离计算（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线；（2）求异面直线AC和BC1间的距离；CDNMPD1C1B1A1AB3（点到线，点到面的距离）2．点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，Q为线段AP的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）点Q到直线BD的距离；（2）点P到平面BDQ的距离；3．边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=600，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离。（线到面、面到面的距离）4.已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，（1）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求侧棱B1B和侧面A1ACC1距离；B1C1BACA15．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=NB=a（20a），（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测41.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为.答案45°或135°2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为.答案60°3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于.答案5154.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为.答案a225.（2008·福建理，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案510例1（2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设DH=(m,m,1)(m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°,由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH,DA〉,可得2m=122m.解得m=22,所以DH=（22,22,1）.(1)因为cos〈DH,CC〉=2111022022=22,所以〈DH,CC〉=45°,5即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0).因为cos〈DH,DC〉=2101122022=21,所以〈DH,DC〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.例2在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.解取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，则B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M（1，3，0），N（0，3，2）.∴CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）.设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则020z-x33xnnMNyCM，取z=1，则x=2,y=-6,∴n=（2，-6，1）.∴点B到平面CMN的距离d=324nnMB.例3（16分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.（1）解当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC.4分（2）证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系6则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，21，21），D（3，0，0）.设BE=x，则E（x，1，0），PE·AF=（x，1，-1）·（0，21，21）=0，∴PE⊥AF.10分（3）解设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）由00PEPDmm，得m=1,31,31x.12分而AP=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,∴sin45°=22=APAPmm，∴1313112x=21,14分得BE=x=3-2或BE=x=3+2＞3（舍去）.故BE=3-2时，PA与平面PDE所成角为45°.16分1.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知，ABFC是正方形，∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8），E（0，0，8），F（0，32，0），∴BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.7cos〈BD,EF〉=EFBDEFBD=8210064180=-1082.设异面直线BD与EF所成角为，则cos=|cos〈BD,EF〉|=1082.即直线BD与EF所成的角的余弦值为1082.2.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.（1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离.（1）证明建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0），D1（0，0，4），B1（22，22，4）.EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），1DD=（0，0，4），∴EF·BD=0，EF·1DD=0.∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）解由（1）知11BD=（22，22，0），EF=（-2，2，0），EB1=（0，-2，-4）.设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)则n⊥EF,n⊥EB1即n·EF=（x，y，z）·（-2，2，0）=-2x+2y=0，n·EB1=（x，y，z）·（0，-2，-4）=-2y-4z=0，令x=1,则y=1,z=-42,∴n=(1,1,-42)∴D1到平面B1EF的距离d=nn11BD=22242112222=171716.3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.8解方法一（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，21，1)，从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.设AC与PB的夹角为，则cos=PBACPBAC=723=1473，∴AC与PB所成角的余弦值为1473.（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则NE=（-x，21，1-z），由NE⊥平面PAC可得00ACNEAPNE，即0)0,1,3(1,21,0)2,0,0(1,21,zzxx,化简得021301xz,∴163zx即N点的坐标为（63，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，63.方法二（1）设AC∩BD=O，连接OE，AE，BD，则OE∥PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴由余弦定理得cos∠EOA=1473127245471,即AC与PB所成角的余弦值为1473.(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=6.连接PF,则在Rt△ADF中,DF=ADFADcos=332,9AF=AD·tan∠ADF=33.设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF.∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC.∴N点到AB的距离为21AP=1，N点到AP的距离为21AF=63.一、填空题1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈1DB,CM〉的值等于.答案152102.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为.答案423.（2008·全国Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C