工程矩阵理论(2010)(工科硕士)

1工程矩阵理论东南大学数学系周建华2教材工程矩阵理论张明淳，东南大学出版社参考书1.高等代数，北京大学，高等教育出版社2.MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,2004(中译本，杨奇译，机械工业出版社）3要求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，理解概念；4.通过练习题，熟悉理论和方法。4本课程大致内容第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆5矩阵理论1..kA计算2..讨论矩阵序列的极限3..Axb求线性方程组的近似解6第0章复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组和秩4.矩阵的秩71.矩阵的乘法中应注意的问题(1)存在非零零因子例10101010nnN8(2)不可交换例2.假设12nddDd，其中，12,,,nddd互异。nn矩阵A满足什么条件时与D可交换？9（3）由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立mmmmmmmmmmBABCBACBACABABA1122211,,即相应的二项式定理成立可交换时与当10例311Aknn次幂：矩阵的计算下述解：kkkkkkkkkkkkkNCNICNICNICINIANINIA1122211)()()()()(可交换，与且kkkkkkkkkkkkNCNCNCNCIA1122211112211112211000000kkknknkkkkkkkkkkkkCCCCCC11（4）分块矩阵设tnijnsijbBaA,qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,在一定条件下，ABC也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：prpprrCCCCCCCCCC212222111211其中，1122ijijijiqqjCABABAB12条件：上式有意义.的行的分法一致的列的分法与BA13一些常见的分块形式1.nsijnsijbBaA,均按行进行分块BA,)()()(BrArBAr14,)ijijsnntAaBb(设2.分成4块假设,ijijsnntAaBb：111211122122212211111221111212222111222121122222AABBABAABBABABABABABABABAB15例4.假设,AB分别mn阶、nm阶方阵，构造矩阵,mmnnEAEAMGBEOE。1.计算MG和GM；2.证明：mnEABEBA。163.AB按列分块，不分块)(),()(BrArABr11112112111(,,,),,,tnnntnnniiiiitiiiibbABbbbbb174.AB将视作一块，按列分块。.)()(,nBrArOAB则若假设,ijijsnntAaBb：1212(,,,)(,,,)ttABAAAA182.线性方程组1.,bAxTsnsijbbbbaA21,其中，bArAr)(有解2..,)(nrrbArAr则有唯一解若3.(),.rArAbrnnr若则通解中含有个自由未知量19齐次线性方程组的基础解系,AxnsijaA其中，对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当.)(nAr.,)(.2个解向量则其基础解系中含若rnnAr3.(),.rAnnr若则其任意个线性无关的解向量是其基础解系2015543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵21简化阶梯形矩阵满足下列条件的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵：（1）各个非零行的非零首元均为1；（2）除了非零首元外，非零首元所在的列其余元素都为零。22续例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵0000002211100026140100540011初等行变换23Gauss消元法阵化成阶梯形矩阵；用初等行变换将增广矩确定自由未知量；用回代法找出通解。24例605540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx础解系：求齐次线性方程组的基000001110003110011111初等行变换增广矩阵0000022100014010040011初等行变换25例71.()();2.HHHAsnbsrArAAAAxAb设是矩阵，是维列向量。证明：线性方程组恒有解。263.向量组的极大无关组和秩.,,,21向量均是其极大无关组个线性无关的，则其中任意的秩为量组若向rrs设向量组12,,,s的部分组12,,riii满足（1）12,,riii线性无关；（2）12,,,s中每个向量均可由12,,riii线性表示则称12,,riii是12,,,s的一个极大无关组。称r是12,,,s的秩。27例8求给定向量组的极大无关组并且将其余向量用所得极大线性无关组线性表示。123451211111210,,,,0112121322284.矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：);()()(.1BrArBAr;)()(,.3nBrArOBAtnns则若;)()()(.4nBrArBArtnns);(),()(.2BrArABr29例9证明：若,PQ都是可逆矩阵，则()()rPAQrA。30例10若nn矩阵A满足2AA，证明：()()rArIAn31矩阵的等价标准形sn矩阵A的秩等于rA与矩阵rIOOO等价存在可逆矩阵,ssnnPQ，使得rIOAPQOO32.11snArsrBrnCABC：假设矩阵的秩为，证明存在矩阵及矩阵，使得（矩阵的满秩分解）例33例12：1112122304.1142522788A求的满秩分解11121005460000000000A初等行变换解：611105564001550000000000初等行变换34线性空间和线性变换第一章35第一节线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）..:数域实或复是是非空集合设定义）（，FV:上定义了两种运算及在FV:,,,,,;VV对在中有惟一的元素与之对应记这个元素为称为加的和法:,,,,.VkFVkk对在中有惟一的元素与之对应记这个元素为称为与数的积乘36如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为向量。1.,,;2.,,,()();3.,,;4.,,;5.,1;6.,,,()();7.,,,();8.,,,()VVVVVVVVklFklklVklFklklVkFkkk对对元使得对使对对对对37例1nFV.1nnFV.2][.3xFV][.4xFVnRFCV,.5CFCV,.638例1（续）CFRV,.7通常运算,,.8RFRVRFRV,.9kkFkVV,,:;,,::对对定义新的运算39线性空间的性质则上的线性空间是数域假设,FV;.1中的零向量是惟一的V;,,.2记为的负元素是惟一的对V;,:.3则若加法消去律4.,,((),);Vxxx对向量方程有惟一解记;)1(,),().(5特别地kk或0.6kk40第二节基、维数和坐标如：在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。121211221212.,,,,.,.ssssssVkkkkkk定义：设，，，若不全为零的数使得则称向量组，，，否线性相关线则称，，性无关，41一些重要结论121.2,,,,,1.sjsjs若则线性相关使可由其余个向量线性表示1212122.,,,,,,,,,,,,.,.sss若线性无关但线性相关则可由线性表示而且线性表示的方法是惟一的421212123.,,,,,,,,,,,.tstts若可由线性表示则线性相关1212121.,,,,,,,,,,,.tstts推论若可由线性表示且线性无关则12122.,,,,,,,,.tsst推论若与等价且均线性无关则43例21000010000100001.12221121122，E，E，E，EF中在2322213243,31,32][.2xxxxxx，xF中在123.,,1,1VCFRi124.,,1,1VCFCi44定义（基，维数）121212121.2..nnnnVVV若，，，满足条件（），，，线性无关；（）均可由，，，线性表示,则，称，，是的一组基，,()dimVVnV称是的记为或维数维。45注：.1,dim个向量线性相关中任意则命题：若nVnV.注：线性空间的基不一定存在如：V零空间-----dim0[]VFx][dimxF46例3..1nFV..222FV].[.3xFVn.,.4RFCV.,.5CFCV.,.6RFRV47定理1dim,.VnVnV若则中任意个线性无关的向量均构成的基321