2020版新高考数学二轮复习-函数的图象与性质-

数学第二部分高考热点分层突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养01做高考真题明命题趋向[做真题]题型一函数的概念及表示1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log2（2－x），x1，2x－1，x≥1.则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12解析：选C.因为－21，所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.因为log2121，所以f(log212)＝2log212－1＝122＝6.所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．解析：当x≤0时，由f(x)＋f(x－12)＝(x＋1)＋(x－12＋1)＝2x＋321，得－14x≤0；当0x≤12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋(x－12＋1)＝2x＋x＋121，即2x＋x－120，因为2x＋x－1220＋0－12＝120，所以0x≤12；当x12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋2x－12212＋201，所以x12.综上，x的取值范围是(－14，＋∞)．答案：(－14，＋∞)题型二函数的图象及其应用1．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()解析：选D.因为f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－sinx＋xcosx＋x2＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；因为f(π)＝sinπ＋πcosπ＋π2＝π－1＋π20，所以排除C；因为f(1)＝sin1＋1cos1＋1，且sin1cos1，所以f(1)1，所以排除B.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6，6]的图象大致为()解析：选B.因为f(x)＝2x32x＋2－x，所以f(－x)＝－2x32－x＋2x＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝2x32x＋2－x为奇函数，排除C；当x0时，f(x)＝2x32x＋2－x0恒成立，排除D；因为f(4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1m(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m解析：选B.因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝x＋1x＝1＋1x，所以函数y＝f(x)与y＝x＋1x的图象都关于点(0，1)对称，所以i＝1mxi＝0，i＝1myi＝m2×2＝m，故选B.题型三函数的性质及应用1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f(2－32)f(2－23)B．flog314f(2－23)f(2－32)C．f(2－32)f(2－23)flog314D．f(2－23)f(2－32)flog314解析：选C.根据函数f(x)为偶函数可知，f(log314)＝f(－log34)＝f(log34)，因为02－322－2320log34，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)f(2－23)f(log314)．故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]解析：选D.因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：选C.因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且一个周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.[山东省学习指导意见]1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．4．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性及周期性的含义．5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．函数及其表示[考法全练]1．函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2，3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选D.由题意得2x－40，x－3≠0，解得x2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D.2．已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0(0a1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3解析：选B.由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5.①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0a1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.3．已知函数f(x)＝2（1－x），0≤x≤1，x－1，1x≤2，如果对任意的n∈N*，定义，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2019(2)＝f3×672＋3(2)＝f3(2)＝2.4．(2019·山东济宁期末改编)已知函数f(x)＝lnx＋b，x1，ex－2，x≤1，若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝lnx＋2，x1，ex－2，x≤1.当x1时，y＝lnx＋22；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．答案：2(－2，e－2]∪(2，＋∞)5．已知函数f(x)＝－x＋1，x0，x－1，x≥0，则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是________．解析：当x＋10，即x－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－2≤x≤－1＋2，故x∈[－1，－1＋2]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2]．答案：(－∞，－1＋2](1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数的图象及其应用[典型例题]命题角度一函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()(2)已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是()(3)(一题多解)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为关于x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为()【解析】(1)当x0时，因为ex－e－x0，所以此时f(x)＝ex－e－xx20，故排除A、D；又f(1)＝e－1e2，故排除C，选B.(2)因为f(－x＋1)＝f(－(x－1))，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤π4，则BPOB＝tanx，所以BP＝tanx，所以AP＝4＋tan2x，所以f(x)＝tanx＋4＋tan2x0≤x≤π4，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，∠BOP＝x，π4≤x≤3π4，则BP＋AP＝BC2＋CP2＋AD2＋DP2＝1＋1－1tanx2＋1＋1＋1tanx2.当点P位于边AD上时，∠BOP＝x，3π4≤x≤π，则APOA＝tan(π－x)＝－tanx，所以AP＝－tanx，所以BP＝4＋tan2x，所以f(x)＝－tanx＋4＋tan2x3π4≤x≤π，根据函数的解析式可排除D，故选B.法二：当点P位于点C时，x＝π4，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋5，当点P位于CD的中点时，x＝π2，此时AP＋BP＝221＋5，故可排除C，D，当点P位于点D时，x＝3π4，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A，故选B.【答案】(1)B(2)B(3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断．命题角度二函数图象的应用(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A．－∞，94B．－∞，73C．－∞，52D．－∞，83【解析】(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x0，作出函数f(x)的图象