圆与三角函数的中考应用

九年级数学春季讲义1DOCEA图1B图2BAFECODAHC图2OBDDEBO图1CHAcbaACB圆与三角函数的中考应用【知识要点】1、能熟练运用三角函数，结合圆的相关性质完成圆中的计算与求值。2、技法与方法的训练，如何角度转换及构造直角三角形解决问题。【基础知识】如图，解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．【典型例题】一、已知线段长度，求三角函数值已知在Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙O交斜边于另一点D，且AD=2BD．（1）如图1，⊙O与直角边BC相切于E点，连接AE，求cosCAE的值；（2）如图2，⊙O与直角边BC相交于E、F两点，且E为DF的中点，连接AF，求cosCAF的值．【提示】本题考查了垂径定理、相似三角形，关键是如何把∠CAF进行有效的转换。【练习】(本题满分8分)如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，以O为圆心，OD为半径作⊙O，若AC=5，AB=6．（1）若O为CH的中点，⊙O与OH相交于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；（2）如图2，若⊙O过点H，且连接DH，求tan∠AHD的值．九年级数学春季讲义2二、已知三角函数，求线段的长度如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.（1）求证：△PCF是等腰三角形；（2）若4tan3ABC，BE25，求线段PC的长．【提示】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,勾股定理以及等腰三角形的判定与性质。注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.【练习】如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（4分）（2）设∠AOQ=，若54cos，OQ=15，求AB的长。（4分）三、已知三角函数，求线段的比值如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的平分线于C,过C作CD⊥AD于D,交AB的延长线于E.（1)求证：CD为⊙O的切线（2)若,43=ADCD求cos∠DAB的值。（第21题图）OQBAPC.ODAEB九年级数学春季讲义3BAOPCBAOPC【变式练习】如图，等腰△ABC内接于⊙O，B是弧AC的中点，，外角∠EAC的平分线交⊙O于D点，DB交AC于点E.⑴求证：AD=DF；⑵若3cos4BAC，求DADB的值.四、已知三角函数，求三角函数值已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点，P是优弧ABC的中点(1)如图1，求证：OP∥BC(2)如图2，若tanA＝21，求tan∠ABC的值【提示】学会如何把圆周角转换成其所对的圆心角的一半。【练习】4.已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点．（1）如图1，若AC为直径，求证：OP∥BC；（2）如图2，若sin∠P＝2524，求tan∠C的值．九年级数学春季讲义4PODBAC【课后作业】1、已知：如图，CA=CB，且CA⊥CB．以AC为直径作半圆⊙O，点D为半圆⊙O上的一点，BD=BC，连接OB，交线段CD于点P，（1）求证：DP=PC；（2）连接AP，求tan∠OAP的值．2.如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点D.（1）求证：DB=DC=DI.（2）若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，求tan∠CAD2的值.3.已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是ABC的中点，弦DE⊥AB于点F，DE交AC于点G．（1）如图1，求证：∠BAC=∠OED；（2）如图2，过点E作⊙O的切线交AC的延长线于点H．若AF=3，FB=34，求cos∠DEH的值．4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在优弧ABC，∠ACD=45°.（1）如图1，AB交CD于E，连CD，若AB=BD，求证：AC=2AE；（2）如图2，连AD、CD，若tan∠BAD=13，求tan∠BDC.DIOABCDIBOACAOFBDGEC图1AOFBDGECH图2图2图1BEDBOOACACD