北大医学数字图像处理3.7非正交小波变换

§3.7非正交小波变换3.7.1紧支集正交小波的构造在多尺度正交小波分解和重构的Mallat算法中，求和一般是无限多项的，但实际计算中必须截断，会造成截断误差。构造小波函数的不同方法：由共轭滤波器系数{}nnzh∈求一个尺度分析尺度函数()tϕ，再由()tϕ和{}nnzg∈求出()tψ。g几个重要性质作为一个多尺度分析的共轭滤波器系数{}nnzh∈和{}应该满足以下性质nnzg∈[2]：12,0.nnnznzhg∈∈==∑∑1()()01,00.HG==1()()()()112,2,2jjjjHGωHωωω+∞+∞−−==⎛⎞Φ=Ψ=⎜⎟⎝⎠∏∏ω说明尺度函数()tϕ和小波函数()tψ均可由()Hω确定。122,nknlklhhδ−−＝（等价于()tϕ的平移正交性，对应的滤波器()Hω为正交滤波器）122,nknlklggδ−−＝（等价于()tψ的平移正交性）22,nknlklhgδ−−＝（等价于()tϕ与()tψ的正交性）12211,2kkkzkzhh+∈∈==∑∑2211.2kkkzkzgg+∈∈=−=−∑∑g由共轭滤波器构造尺度函数方法I：对()(12jjH)ωω+∞−=Φ=∏进行傅立叶逆变换可得()()1122jitjRtHeωdϕωωπ+∞−==∏∫i说明，只要{}使nnzh∈()Hω的衰减足够快，使得(12jjH)ω+∞−=∏收敛，则由此式可以确定一个尺度函数()tϕ。方法II：对于已经给出的{}nnzh∈，看双尺度方程()()22nnzthtϕϕ∈=−∑n作迭代：2()()()0111,,220,1,2,...22,knknztkthtnϕχϕϕ+∈⎧⎡⎤=−⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪=−⎪⎩∑可以推得，当()Hω满足下列条件()()()()()0112,0,,supNiinnnznnRnzHeHFFfefnFωωεωωωωεω−−∈∈=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦=∞∑∑N-1存在使2时，前面定义的迭代所得到的{}kϕ收敛到一个尺度函数()tϕ，使得()tϕ导出的共轭滤波器恰好是()Hω。有一个问题，这时所得到的()tϕ一般不是正交尺度函数，(){}nzxnϕ∈−不是正交系，这时()22kzkωπ∈1Φ+∑≠。可以考虑将()tϕ正交化：()()()22,nznωωωπ∈ΦΦ=Φ+∑由于3()()()22222,2nznnnωπωπωπ∈Φ+Φ+=Φ+∑所以()221nznωπ∈Φ+=∑，这时，()()12itRtωedϕωπ=Φ∫ω的平移系是一个标准正交基。g紧支集正交尺度函数的构造1紧支集函数若尺度函数()tϕ仅在有限区域上不为零，则称()tϕ为紧支集函数。我们希望找到有限项非零的滤波器{}nnzh∈所对应的尺度函数()tϕ，由的定义nh()122nRthtϕϕ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫ndt可知，若()tϕ是紧支集函数，则只有有限多项非零；若{nh}nnzh∈只有有限项非零，此时的双尺度方程经过适当的平移变换可写成()()02,Nnnthtϕϕ==−∑n按照4()()()0111,,220,1,2,...22,knknztkthtnϕχϕϕ+∈⎧⎡⎤=−⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪=−⎪⎩∑作迭代，取()011,,20,,ttotherwiseϕ⎧⎪=⎨⎪⎩由()()10022Nnnthtϕϕ==−∑n，可得()1tϕ也是紧支集函数，支集的求出：由122t−，得14t−，由122tN−，得124Nt+，所以()1tϕ的支集为22112,22N+⎛⎞−⎜⎟⎝⎠；同理可求出()mtϕ的支集为2111122...2,22mmmNNN++⎛⎞++++−⎜⎟⎝⎠。取，则m→∞()()mtϕϕ→t，所以，()tϕ的支集为，是紧支集，再对()0,N()tϕ正交化，则可得到紧支集正交尺度函数。可见，已知一个紧支集的正交尺度函数，就可得到有限项非零的滤波器系数，使得Mallat分解和重构公式计算量减少且计算精确；反之，已知一个有限项非零的正交滤波器系数，就可确定一个紧支集的正交尺度函数。但实际上往往是尺,0,1,2,...,nhnN={}nnzh∈5度函数()tϕ和滤波器系数{}nnzh∈都不知道，如何求它们？Daubechies通过共轭滤波器()Hω应满足的条件来设计出()Hω，定出有限个，再由双尺度方程求出尺度函数在一些点上的值nh()tϕ()2mnϕ−（或者由双尺度方程迭代），近似地求出和()tϕ()tψ。3.7.2Daubechies小波Daubechies提出的解决问题思路为：z由尺度函数()∑−=−=12022)(Nnnnthtϕϕ的傅里叶变换()()()()∑−=Φ=ΦnnjnehHHωωωωω,2求出()ωH；z用无穷乘积定义；()()∏+∞=−=Φ12jjHωωz讨论(){}nZtnϕ∈−的标准正交条件，为构造小波创造条件。设()innnHheωω−=∑是三角多项式，系数{}nh是实数系列，有()()()112NiiHeQeωωω−NZ+⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦(a)式中(iQe)ω是实系数代数多项式。由Riesz定理可得6()12210sin2NikNkkQeCωkω−+−=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑其中组合1110(1!(1)!kNkNkNkANkCkN−+−+−=)!!k+−==−∑，进而求得()iQeω，代入（a）式，可确定)(ωH、尺度系数和小波系数。这样由nhng()ωH和Riesz定理给出的小波基函数称Daubechies紧支集小波，对应的尺度函数和小波函数为()()()()()21021021222210,1,2,,21NNnnNNnnnnNnthtntgtnghnNϕϕψϕ−=−=−−=−=−=−=−∑∑z式(a)的证明：因为()()iiQeQeωω−=所以()()()2iiQeQeQeiωωω−−=是ω的偶函数，将其表成cosω的多项式，利用()21cossin22ωω−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7进而可以等价地表示成2sin2ω⎛⎞⎜⎝⎠⎟的多项式，记为()2,sin2pyyω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠或者2sin2pω⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠注意到()2cos2122ωω=+je（此式如下得到：()[]()。)2coscos1211cos2141sincossinsincossincoscossincos1412sincos12sincos1222ωωωωωωωωωωωωωωωωω=+=++=+++−++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++iiiiii则有()()()()()2222222cos21sin21sinsin221NiNiNNHQeQepypyωωωωωωω−−⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝=−⎞⎠8而()()()()222()2222sin2sinsinsin1sin2221NiNNNHQeppypyωπωωπωπ2ωωω−+⎡⎤⎛⎞+=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦=−⎤−⎥⎦()()()()()()[][22221110,0,1;sin0,sin0,122NNHHypyypypyypωωπωω]∴++=−+−=⎛⎞⎛⎞⎛⎞≥∈≥∈⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠因、z由Riesz定理，求出()2ωjeQ。Riesz定理告诉我们，如果(){}0cos,NnnnAanaωω==⊂∑R则存在(){}0,NjnnnnBbebRωω==⊂∑使得()()2BAωω=。这实际上是三角多项式与指数多项式通过Euler公式建立的关系。考虑()12222101sinsinsin2222kNNjkNkkQeCRωωωω−+−=⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑9其中()()RxR=−−x；⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2sin212ωR可写成⎟⎠⎞⎜⎝⎛ωcos21R，在最简单情况下，上式简化为0)(=xR()12210sin2NikNkkQeCωkω−+−==∑。IngridDAUBECHIESProfessor，PrincetonUniversityDepartmentofMathematicsandPrograminAppliedandComputationalMathematicsMemberoftheNationalAcademyofSciences(elected1998)MemberoftheAmericanAcademyofArtsandSciences(elected1993)Education:•1975:Bachelor'sdegreeinPhysics;VrijeUniversiteitBrussel•1980:Ph.D.inPhysics;VrijeUniversiteitBrusselPositionsHeld:•1975to1984:ResearchAssistant;Dept.forTheoreticalPhysics,VrijeUniversiteitBrussel10•1984to1987:ResearchProfessor;Dept.forTheoreticalPhysics,VrijeUniversiteitBrussel•1987to1994:TechnicalStaffMember;MathematicsResearchCenter,AT&TBellLaboratories•1991to1993:Professor;MathematicsDepartment,RutgersUniversity•1994topresent:Professor;MathematicsDepartmentandPrograminAppliedandComputationalMathematics,PrincetonUniversity•1997to2001:Director;PrograminAppliedandComputationalMathematics,PrincetonUniversityAwardsandHonors:•LouisEmpainPrizeforPhysics(Belgium,1984)•FellowoftheJohnD.andCatherineT.MacArthurFoundation(1992to1997)•MemberoftheAmericanAcademyofArtsandSciences(elected1993)•AmericanMathematicalSocietySteelePrizeforExposition(1994)•AmericanMathematicalSocietyRuthLyttleSatterPrize(1997)•TheInternationalSocietyforOpticalEngineeringRecognitionofOutstandingAchievement(1998)•MemberoftheNationalAcademyofSciences(elected1998)•IEEEInformationTheorySocietyGoldenJubileeAwardforTechnologicalInnovation(1998)•FellowofTheInstituteofElectricalandElectronicsEngineers,Inc.(1998)•ForeignMemberoftheRoyalNetherlandsAcademyofArtsandSciences(elected1999)•DoctorHonorisCausa,UniversitéLibredeBruxelles,Belgium(2000)•NationalAcademyofSciencesMedalinMathematics(2000)•EduardRheinFoundation2000BasicResearchAwardfortheinvention,themathematicaladvancementandtheappli