北大医学数字图像处理3.5正交小波变换

第3章小波变换3.5正交小波变换通常，离散小波框架通常不是()2LR的正交基，其信息量存在冗余。由前面我们已经知道，若小波函数的伸缩平移系(){},,jkjkZtψ∈是正交系，就可得到无冗余的小波框架，这正是数据压缩和数值计算中所希望的。JPEG2000标准的建立是在数据压缩中应用正交小波变换的结果；而在数值计算中，正交小波变换被应用与矩阵向量积乘法的加速运算和矩阵方程的快速求解之中。这里来看如何构成这样的小波？3.5.1正交小波变换的定义设是一个可容许小波，若其二进伸缩平移系()2()tLRψ∈()()2,22,,jjjkttkjkZψψ−−=−∈，构成的标准正交基，则称2()LR()tψ为正交小波，而相应的离散小波变换()()(),,,fjWjfttψ=kk为正交小波变换。gHaarWaveletBasis这里是一个典型的正交小波例子。Haarmotherscalingfunction,is1第3章小波变换11021()1120elsewisethtt⎧≤⎪⎪=−≤⎨⎪⎪⎩Fig.4HaarMotherWavelet.Afamilyofshiftedandstretchedscalingfunctionsfromthemotherscalingfunction:()2,,()()22,,kkknknhtthtnknφ−−==−z∈2第3章小波变换Haar小波函数不连续，且它的频谱表达式为212()iieeHiωωωω−−−+=，所以它随ω的衰减速度仅为1ω，不能满足对基的光滑性要求，频阈的局域性也差，多用于理论研究。3.5.2Shannon小波的构造对于连续依赖于时间的信号进行抽样，可以得到其样值序列)(tf(){}kzfk∈Δ，假如我们对的频谱)(tf()Fω加上限制(限带信号)：()0,Fifωω=≥B3第3章小波变换则根据通讯理论中著名的Shannon定理，只要取样间隔BπΔ≤时，由样值序列(){}kzfk∈Δ可以唯一确定信号：)(tf()()()()sinkztkftfktkππ∈−ΔΔ=Δ−ΔΔ∑，（1）则离散函数序列(){}kzfk∈Δ可以完全确定原来的连续函数。)(tfπ令Bπ=，，则频谱为1Δ=有限的全体函数组成线性空间()()(){}^0V0ftFft,ωωπ===⎡⎤⎣⎦≥这里是的一个子空间，这时前面（1）式成为0V()2LR()()()()sinkztkftfktkππ∈−=−∑（2）显然，可以由()sintttπϕπ=的平移系得到如下的函数系列(){}()()sinkzkztktktkπϕπ∈∈⎧⎫−⎪⎪−=⎨⎬−⎪⎪⎩⎭，考虑的Fourier变换()tϕ()1,0,otherwiseωπω⎧≤⎪Φ=⎨⎪⎩故，利用Parseval等式可得：()()()()1,sinsin10,2iminRmntmtndteedmntmtnπωωπππωπππ−−−=−−⎧==⎨≠−−⎩∫∫故，(){}kztkϕ∈−构成的标准正交基。0V4第3章小波变换对于中的函数0V()ft作如下变换：()()2ftf→t，则相应的有()()(){}^0-10,2VVftFftωωπ→===≥⎡⎤⎣⎦，(){}(){}2kzkztktkϕϕ∈∈−→−。设(){}()()sin22222kzkztktktkπϕπ∈∈⎧⎫−⎪⎪−=⎨⎬−⎪⎪⎩⎭，可以证明，上面的函数系(){}22kztkϕ∈−构成空间的标准正交基。-1V对于任何()1ftV−∈，因为12,2BBππ=Δ==，按照Shannon定理有()()12222kzkftftϕ∈⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑k。对一般情况，对中函数作如下变换0V(),2jtftfj⎛⎞→∈⎜⎟⎝⎠z，相应地5第3章小波变换()()()^0j0,2jVVftFftπωω⎧⎫→===≥⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭此时函数系()()()22sin22222jjjjjkzkztktktkπϕπ−−−−−∈∈⎧⎫−⎧⎫⎪⎪−=⎨⎬⎨−⎩⎭⎬⎪⎪⎩⎭构成了的一组标准正交基，对于任何jV()jftV∈，有()()222222jjjjkzkftftϕ−−∈⎛⎞=⋅⎜⎟⎝⎠∑k−，（3）由前面的定义有：kV1012VVVV−−⋅⋅⋅⊆⊆⊆⊆⋅⋅⋅{}0,jjzV∈=∩{}2jjzVLR∈=∪。对于以上子空间的并集为()2LR可作如下理解：考虑(){}2ftLR∈，()ft的傅立叶变换为：()()()()jjjzjzFFFωωχωω∈∈==∑∑6第3章小波变换这里(j)χω为在区间1,22jjππ+⎛⎞⎜⎝⎟⎠的特征函数，也就是()11,220,jjjotherwiseππωχω+⎧≤⎪=⎨⎪⎩因为()jFω的傅立叶逆变换可以写为()jjftV∈，所以有()(),jjzftft∈=∑（4）这就是{}2jjzVLR∈=∪的含义。考虑把（3）式和（4）式相结合，可得()()22,2222jjjjjkzkftftkϕ−−∈⎛⎞=⋅⎜⎟⎝⎠∑−，讨论：中任何函数可用{}2LR()tϕ的伸缩平移系()2,22jjkjztkϕ−−∈⎧⎫−⎨⎩⎭⎬j线性表示。但此函数系不是正交系，对于确定的，不同是相互正交；但对于不同的，这种正交关系不成立。原因在于子空间是不正交的，它们是包含关系，如何解决？jkj,iVV可以从子空间{}jjzV∈与函数()tϕ出发，构造另一族相互正交7第3章小波变换的子空间族{}jjzW∈与，使空间()tψ{}2LR分解成的直和jW{}2jjzLRW∈=⊕，同时，使的伸缩平移系()tψ()2,22jjkjztkψ−−∈⎧⎫−⎨⎩⎭⎬构成的标准正交基，也就是我们要求的jW{}2LR的标准正交基。8第3章小波变换3.5.3多尺度分析MRA（Multi-ResolutionAnalysis）上面提出的任务是，由{}jjzV∈和函数()tϕ出发构造相应的{}jjzW∈与，可由通过多尺度分析MRA实现。()tψ„定义一个正交多尺度分析{}()(),jjzVϕ∈t是由{}2LR中的一列子空间{}jjzV∈及一个函数()tϕ组成，且必须满足下述条件：（1）；（单调性）1,jjVVj−⊆z∈（2）()()12jjftVftV−∈⇔∈；（伸缩性）（3）{}0,jjzV∈=∩{}2jjzVLR∈=∪；（逼近性）（4）且()0,tVϕ∈(){}kztkϕ∈−是的标准正交基，称是此多尺度分析的尺度函数（ScaleFunction）或父函数。（Riesz基存在性）0V()0tVϕ∈可见，对于任何()0ftV∈，有2jjtfV⎛⎞∈⎜⎟⎝⎠。容易验证，函数系()222jjkztkϕ−−∈⎧⎫−⎨⎩⎭⎬构成了jV的一组标准正交基。9第3章小波变换这里所描述的MRA，实质上是人类视觉系统对物体认识的数学描述。如，jV是在某种尺度下我们观察到的物体信息，如三维物体的两个面，则当尺度变到到1j−时，我们所观测到的信息是1jV−（三维物体的全部），这时可以认为是我们更靠近所观察的物体，所以1jV−表示的信息更丰富。„正交分解{}2jjzLRW∈=⊕的构造由于1jjVV−⊆，记jW是jV在1jV−中的正交补空间，也就是1jjVVW−j=+，而且,jjWVjz⊥∈，这样得到空间序列{}jjzW∈，我们亦称：jW：尺度为j的小波空间，由于jW为jV在1jV−中的正交补空间，因此jW也称为jV在1jV−中的细节空间；jV：尺度为的尺度空间。j另外，10第3章小波变换11122111......jjjjjjjjjjjsjsjsjjVVWVWWV−+++++++++=+=++=+++==+++++－Let,wegets→∞1jmmjVW+∞−==⊕,Let,wegetj→−∞()2mmLRW+∞=−∞=⊕„求jW的标准正交基若非零函数()()12jjftWftW−∈⇔∈。这是因为，若()1jjftWV−∈⊂，则()22jftV−∈；但()12jftV−∉:因为若()12jftV−∈，则()jftV∈，而实际上()jftW∈，这样得出矛盾结果。所以必有()12jftW−∈。类似可以证明()()12jjftWftW−∈⇒∈。jW0W所以，我们寻找的的标准正交基的问题归结为找的标准正交基。可以通过尺度函数()tϕ寻找小波函数。()tψ11第3章小波变换3.5.4关于尺度函数与小波函数性质的几个定理[2,7]„定理1设，令()2()tLRϕ∈()0,ktkϕϕ=−，则(){}0,kkztϕ∈是标准正交系()22kzkωπ∈Φ+=∑1,（5）其中()ωΦ是的傅立叶变换。()tϕ证明：因为()()^0,kikteωϕω−⎡⎤=Φ⎣⎦，对于,mnz,∈由Parseval等式，有()()()()()()0,0,2()(22)2()222()02(01,2121212212niminmRinmRkinmkzkinmkzineedededkedFeωωωπωππωπϕϕωωωπωωπωωπωπωπωπ−−−+−−∈−−∈−=ΦΦ=Φ=Φ=Φ+=∫∫∑∫∑∫∫()()2:2kzNoteFkωωπ∈⎛⎞=Φ+⎜⎟⎝⎠∑)mdωω−12第3章小波变换注意这是一个周期函数，而(){}0,kkztϕ∈是标准正交系，意味着0,0,,,nmnmϕϕδ＝()2(),012inmnmFedπωωωδπ−−∫＝so()()221kzFkωωπ∈=Φ+≡∑。证毕。„定理2（双尺度方程）设{}jjzV∈和尺度函数()tϕ构成的一个多尺度分析，则有2()LR{}kkzh∈使(122kkzthtkϕϕ∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑)−。（6）此式称双尺度方程。说明某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性组合得到，这是多尺度分析赋予尺度函数()tϕ的最基本性质。证明：由尺度函数的定义，()0tVϕ∈，(){}kztkϕ∈−是的标准正交基，由多尺度分析的定义有0V1122tVVϕ⎛⎞0∈⊂⎜⎟⎝⎠，故122tϕ⎛⎞⎜⎟⎝⎠可用的基表示：0V13第3章小波变换()1,22kkzthtkϕϕ∈⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑其中，显然有()122kRthtϕϕ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫kdt，在（6）式两端取傅立叶变换得到()()22kikkzheωωω−∈Φ=Φ∑即()()122kikkzheωωω−∈Φ=Φ∑，记()12kikkzHheωω−∈=∑（这里的傅立叶变换{}kkzh∈()Hω也称为共轭滤波器，称为滤波器系数或kh称尺度系数。）我们得到()()()2HωωωΦ=Φ。（7）这个式子是双尺度方程的频域形式。证毕。„定理314第3章小波变换设{}kkzh∈是一个以()tϕ为尺度函数做多尺度分析的滤波器系数，()Hω是对应的共轭滤波器，则（1）()()1HHωωπ=22＋＋，（8）（2）若{}kkzh∈满足kkzh∈∞∑，且()ωΦ连续，()00Φ≠，则。()0H＝1证明：我们已经由（5）和（7）式()221kzkωπ∈Φ+=∑,和()22Hωωω⎛⎞⎛⎞Φ=Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠可得：221,22kzHkkωωππ∈⎛⎞⎛⎞+Φ+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑将求和指标按奇偶数分成两组求和有222222222222kzkzHkkHkkωωππωωππππ∈∈⎛⎞⎛⎞+Φ+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞+++Φ++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑1,=考虑()Hω的周期为2π，而且15第3章小波变换2221,222kzkzkkωωππ∈∈⎛⎞⎛⎞Φ+=Φ++=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑1,π带入前式可以得到122HHωωπ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠22＋＋将2ω换成ω，即有()()1HHωωπ=22＋＋。在()22Hωωω⎛⎞⎛⎞Φ=Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠中令0ω=，有()()()00HΦ=Φ001，由，知()0Φ≠()0H=，再由()12kikkzHheωω−∈=∑可得2kkzh∈=∑。证毕。„定理4设{}jjzV∈和尺度函数()tϕ构成的一个多尺度分析，是由它确定的小波空间，若2()LR{}kkzW∈()0tWψ∈，则有{}kkzg∈使16第3章小波变换()122kkztgtkψϕ∈⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑−。（9）式（9）亦称双尺度方程。这是多尺度分析赋予