23.2.1 解直角三角形及方位角的应用

第二十三章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形及方位角的应用1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升已知两边解直角三角形、已知一边及一锐角解直角三角形、已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形、方位角1知识点已知两边解直角三角形知1－讲【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝，解这个直角三角形．导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．32知1－讲如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝解：23,22226(23)43.cab6tan3,23aAb∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.总结知1－讲本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两条直角边，解直角三角形的一般步骤是：(1)根据c＝求出斜边的长；(2)根据tanA＝求出∠A的度数；(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数.22baba知1－讲【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝，解这个直角三角形．25导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出另一条直角边，然后根据正弦(或余弦)的定义求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．知1－讲如图所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝5，c＝解：52,2222(52)55.bca52sin,252aAc∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.总结知1－讲本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和斜边解直角三角形的一般步骤是：(1)根据a＝或b＝求出另一直角边；(2)根据sinA＝（或cosA＝）求出∠A的度数；(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．22bcca22accb2(兰州)如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝()知1－练1根据下面条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b＝3.55D.552C.21B.25A.（来自教材）知1－练3如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tanB＝()455D.411C.2B.23A.22知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－讲【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，∠A＝60°，解这个直角三角形．34导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的度数，然后根据sinA＝，求出BC的长，再运用勾股定理求出AC的长．BCAB知2－讲在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°.解：sin,sin60,43BCBCAAB343sin60436.2BC2222(43)61223.ACABBC总结知2－讲本题运用数形结合思想和定义法解题．已知斜边和一锐角解直角三角形的一般步骤是：(1)根据∠A＋∠B＝90°求出另一锐角；(2)根据sinA＝求出a的值；(3)根据cosA＝求出b的值或根据勾股定理求出b的值．cacb知2－讲【例4】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，∠B＝42°6′.解这个直角三角形(精确到0.01)．导引：先根据∠A＋∠B＝90°求出∠A的度数，再根据cosB＝求出AB的长，最后根据tanB＝求出AC的长．BCABACBC知2－讲在Rt△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝90°－42°6′＝47°54′.∵cosB＝，∴cos42°6′＝，∴AB＝≈20.22.解：∵tanB＝，∴AC＝BC·tanB＝15·tan42°6′≈13.55.BCAB15AB15cos426ACBC总结知2－讲本题运用数形结合思想和定义法求解．已知一直角边和一锐角解直角三角形的一般步骤是：(1)根据∠A＋∠B＝90°，求出另一锐角；(2)当已知一锐角和其邻边时，运用余弦的定义求出斜边，运用正切的定义求出其对边；当已知一锐角和其对边时，运用正弦的定义求出斜边，运用勾股定理求出其邻边知2－练1根据下面条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝30，∠B＝80°；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝40°.2(杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°（来自教材）知2－练3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．7知3－讲3知识点已知一边及一锐角的函数值解直角三角形【例5】(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．31知3－讲解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝，∴BC＝BD＋DC＝13sinADB2222ABAD221.知3－讲(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝∴DE＝CE－CD＝∴tan∠DAE＝1212,212,212.2DEAD2如图，在△ABC中，AC＝5，cosB＝，sinC＝，则△ABC的面积是()A.B．12C．14D．21知3－练1(滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为________．5322532214知识点方位角知4－讲方向角问题：指北或指南方向线(或者指东或指西方向线)与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°通常称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、西北方向、东南方向．知4－讲【例6】如图，一船以20的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C四周10nmile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？hmilen知4－讲（来自教材）分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10nmile.解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=xnmile.在Rt△ACD中，AD=.在Rt△BCD中,BD=.由AB=AD-BD,得AB=即解方程，得答：这船继续向东航行是安全的.tantan30CDxCADtantan60CDxCBD20tan30tan60xx，20.333xx10310.x＞知4－练1(南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB长是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里2如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上，2小时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上，则灯塔B到船所在的航线AC的距离是()知4－练A．(18＋)千米B．(19＋)千米C．(20＋)千米D．(21＋)千米316318320322知4－练3(吉林)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.41)2的边角关系直角三角形解直角三角形解直角三角形实际应用知一边一锐角解直角三角形知两边解直角三角形添设辅助线解直角三角形知斜边一锐角解直角三角形知一直角边一锐角解直角三角形知两直角边解直角三角形知一斜边一直角解直角三角形直接抽象出直角三角形抽象出图形，再添设辅助线求解