亥姆霍兹方程中的格林函数Green Function for Helmholtz

GreenFunctionForHelmholtzEquations电子科技大学物理电子学院喻志远2009满足Helmholtz方程的GF)()()(22rrkr)'()',()',(22rrrrGkrrG其中δ(r-r;)是三维Delta函数，如k=0,上式则化为Poisson方程。在不同的边界条件下Green函数具有不同的结构。在Lorentz规范下，势Φ满足下列方程可化为：)'()()(22rrrkrGF满足的边界条件这里αβ不同时为零GreenFunction分类•1。在边界上为零的Green函数为第一类Green函数。•2。在边界上法向导数为零的Green函数为第二类Green函数性质•1对称性和互易性G(r,r’)=G(r’,r),是由于Delta函数的对称性而引起的三维自由空间中的GF•由Foureir变换可以求得：又可以化为：其中h是球汉克尔函数二维自由空间中的GF•二维GF满足如下的方程同样应用留数来计算围道积分，可以得到一维自由空间中的GF可以作为无限均匀传输线中的单位电压源或电流源产生的场一维自由空间中的GF半空间中的GFTheExpansionofGreenFunctionineigenfunctionExpansionofGreenFunctionApplicationsoftheGreenFunction由第二格林恒等式，可得非齐次Helmholtz方程的通解上式是非齐次Helmholtz方程的通解.它表明，V中任一点的场取决于V中的源和边界S上的场量分布。如f(r)=0,v为无源空间，场由面积分确定非齐次Helmholtz方程的通解2•若边界上Green函数为零，则场由V内的源给定此时格林函数为第一类格林函数，用下标1表示。场Ψ也满足相同的辐射条件DyadicGreenFunctionDyadicGreenFunctioninfreespace其中I是单位并矢。上式还可以表示为TheradiationconditionofDyadicGreenFunctioninfreespaceDyadicGreenFunction•引入并矢格林函数的主要目的是为了得到矢量Helmholtz方程的解。•并矢格林函数与格林函数的关系并矢格林函数也满足对称关系：证明见P135TheDyadicGreen’sFunctionforHalfspacebyPerfectConductorTheBoundaryConditionofDyadicGreenFunction其中en是边界上的外向法向矢量第一类边界条件第二类边界条件TheDyadicGreen’sFunctionforHalfspacebyPerfectConductorTheDyadicGreen’sFunctionforHalfspacebyPerfectConductor2其中G0(r,r’)表示上半空间电流元产生的场，G0(r,ri’)表示下半空间电流元的镜像所产生的场HalfSpaceDyadicFunctionforPerfectMagneticConductor并矢格林函数的本征展开矢量波函数L，M，N的定义•其中如在矩形波导中正交函数mnoemnoe对于不同的m,n或奇偶模是正交的并矢格林函数的展开mnoe其中AemnBemn，Cemn为展开系数，由正交函数的特性有：并矢格林函数的展开2•其他两系数为最后可得并矢格林函数的展开式为并矢格林函数的展开3如果定义并矢矢格林函数还可以定义为)',(rrSElectricDyadicGreenfunctionandMagneticDyadicFunction•电并矢和磁并矢分别用以下两个符号来表示)'(),'(rrGrrGme他们满足以下的方程：他们之间的关系为ElectricDyadicGreenfunctionandMagneticDyadicFunction2ApplicationsoftheDyadicGreenFunction•并矢格林函数的主要应用是求解矢量Helmholtz方程的解。这种解可以用并矢格林函数，以很简洁的形式给出。•由电流元给出的电场和磁场满足如下方程电场的格林函数表达式•由并矢格林函数和电场E所满足的方程可以得到所以电场的格林函数表达式2•电场的面积分消失，则电场由V中的电流确定由格林函数的对称性，交换r,r’得到磁场的并矢表达式