(16.1.1)--高数下—猴博士课堂笔记

笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】1高数下第一课一、求多元函数的偏导例1：已知Z=f(x,y)=𝐱𝟑𝐲𝟐+3xy，求𝛛𝐙𝛛𝐱、𝛛𝐙𝛛𝐲。∂Z∂x=∂(x3y2+3xy)∂x=3x2y2+3y∂Z∂y=∂(x3y2+3xy)∂y=2x3y+3x例2：已知W=f(x,y,z)=𝐱𝟑𝐲𝟐+3xy+3xz，求𝛛𝐖𝛛𝐱、𝛛𝐖𝛛𝐲、𝛛𝐖𝛛𝐳∂W∂x=∂(x3y2+3xy+3xz)∂x=3x2y2+3y+3z∂W∂y=∂(x3y2+3xy+3xz)∂y=2x3y+3x∂W∂z=∂(x3y2+3xy+3xz)∂z=3x例3：已知W=f(x,y,z)=𝐱𝟑𝐲𝟐+3xy+3xz，求W在(1,2,3)点的偏导∂W∂x=∂(x3y2+3xy+3xz)∂x=3x2y2+3y+3z∂W∂y=∂(x3y2+3xy+3xz)∂y=2x3y+3x∂W∂z=∂(x3y2+3xy+3xz)∂z=3x∂W∂x|x=1,y=2,z=3=3×12×22+3×2+3×3=27∂W∂y|x=1,y=2,z=3=2×13×2+3×1=7∂W∂z|x=1,y=2,z=3=3×1=32二、求多元函数的二阶偏导例1：已知Z=f(x,y)=𝐱𝟑𝐲𝟐+3xy，求𝛛𝟐𝐙𝛛𝐱𝟐、𝛛𝟐𝐙𝛛𝐱𝛛𝐲、𝛛𝟐𝐙𝛛𝐲𝛛𝐱、𝛛𝟐𝐙𝛛𝐲𝟐∂Z∂x=∂(x3y2+3xy)∂x=3x2y2+3y∂Z∂y=∂(x3y2+3xy)∂y=2x3y+3x∂2Z∂x2=∂(∂Z∂x)∂x=∂(3x2y2+3y)∂x=6xy2∂2Z∂x∂y=∂(∂Z∂x)∂y=∂(3x2y2+3y)∂y=6x2y+3∂2Z∂y∂x=∂(∂Z∂y)∂x=∂(2x3y+3x)∂x=6x2y+3∂2Z∂y2=∂(∂Z∂y)∂y=∂(2x3y+3x)∂y=2x3三、求多元复合函数的偏导例1：已知F=2u+3𝐯𝟐+4𝐰𝟑，其中u=2x+y，v=3y+z，w=4z，求𝛛𝐅𝛛𝐱、𝛛𝐅𝛛𝐲、𝛛𝐅𝛛𝐳𝜕F𝜕x=𝜕F𝜕u·𝜕u𝜕x+𝜕F𝜕v·𝜕v𝜕x+𝜕F𝜕w·dwdx=∂(2u+3v2+4w3)∂u·∂(2x+y)∂x+∂(2u+3v2+4w3)∂v·∂(3y+z)∂x+∂(2u+3v2+4w3)∂w·d(4z)dx=2·2+6v·0+12w2·0=4𝜕F𝜕y=𝜕F𝜕u·𝜕u𝜕y+𝜕F𝜕v·𝜕v𝜕y+𝜕F𝜕w·dwdy=𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕u·𝜕(2x+y)𝜕y+𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕v·𝜕(3y+z)𝜕y+𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕w·d(4z)dy=2·1+6v·3+12w2·0=18v+2=18(3y+z)+2=54y+18z+23𝜕F𝜕z=𝜕F𝜕u·𝜕u𝜕z+𝜕F𝜕v·𝜕v𝜕z+𝜕F𝜕w·dwdz=𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕u·𝜕(2x+y)𝜕z+𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕v·𝜕(3y+z)𝜕z+𝜕(2u+3v2+4w3)𝜕w·d(4z)dz=2·0+6v·1+12w2·4=48w2+6v=48(4z)2+6(3y+z)=768z2+18y+6z例2：已知z=𝐞𝐮sinv，其中u=xy，v=x+y，求𝝏𝐳𝝏𝐱、𝝏𝐳𝝏𝐲𝜕z𝜕x=𝜕z𝜕u·𝜕u𝜕x+𝜕z𝜕v·𝜕v𝜕x=∂(eusinv)∂u·∂(xy)∂x+∂(eusinv)∂v·∂(x+y)∂x=eu·sinv·y+eu·cosv·1=yexy·sin(x+y)+exy·cos(x+y)𝜕z𝜕y=𝜕z𝜕u·𝜕u𝜕y+𝜕z𝜕v·𝜕v𝜕y=∂(eusinv)∂u·∂(xy)∂y+∂(eusinv)∂v·∂(x+y)∂y=eu·sinv·x+eu·cosv·1=xexy·sin(x+y)+exy·cos(x+y)例3：已知z=𝐞𝐱𝐲sin(x+y)，求𝛛𝐳𝛛𝐱、𝛛𝐳𝛛𝐲设u=xy，v=x+y𝜕z𝜕x=𝜕z𝜕u·𝜕u𝜕x+𝜕z𝜕v·𝜕v𝜕x=∂(eusinv)∂u·∂(xy)∂x+∂(eusinv)∂v·∂(x+y)∂x=eu·sinv·y+eu·cosv·14=yexy·sin(x+y)+exy·cos(x+y)𝜕z𝜕y=𝜕z𝜕u·𝜕u𝜕y+𝜕z𝜕v·𝜕v𝜕y=∂(eusinv)∂u·∂(xy)∂y+∂(eusinv)∂v·∂(x+y)∂y=eu·sinv·x+eu·cosv·1=xexy·sin(x+y)+exy·cos(x+y)四、求多元隐函数的偏导例1：已知𝐱𝟐+2𝐲𝟐+3𝐳𝟐+xy+xz+yz=0，求𝛛𝐳𝛛𝐱、𝛛𝐳𝛛𝐲令F=x2+2y2+3z2+xy+xz+yz∂F∂x=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂x=2x+y+z∂F∂y=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂y=4y+x+z∂F∂z=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂z=6z+x+y∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z=−2x+y+z6z+x+y∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z=−4y+x+z6z+x+y例2：已知𝐱𝟐+2𝐲𝟐+3𝐳𝟐+xy+xz+yz=0，求𝛛𝐳𝛛𝐱、𝛛𝐳𝛛𝐲、𝝏𝟐𝐳𝝏𝐱𝟐令F=x2+2y2+3z2+xy+xz+yz∂F∂x=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂x=2x+y+z5∂F∂y=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂y=4y+x+z∂F∂z=∂(x2+2y2+3z2+xy+xz+yz)∂z=6z+x+y∂z∂x=−∂F∂x∂F∂z=−2x+y+z6z+x+y∂z∂y=−∂F∂y∂F∂z=−4y+x+z6z+x+y𝜕z𝜕x=−2x+y+z6z+x+y𝜕2z𝜕x2=𝜕(𝜕z𝜕x)𝜕x=𝜕(−2x+y+z6z+x+y)𝜕x=−∂(2x+y+z6z+x+y)∂x=−∂(2x+y+z)∂x·(6z+x+y)−(2x+y+z)·∂(6z+x+y)∂x(6z+x+y)2=−(2+∂z∂x)·(6z+x+y)−(2x+y+z)·(6∂z∂x+1)(6z+x+y)21高数下第二课一、多元函数的全微分例1：已知Z=x+2𝐲𝟐，求dZdZ=∂Z∂xdx+∂Z∂ydy=∂(x+2y2)∂xdx+∂(x+2y2)∂ydy=1·dx+4y·dy=dx+4y·dy例2：已知W=x+2𝐲𝟐+3𝐳𝟑，求dWdW=∂W∂xdx+∂W∂ydy+∂W∂zdz=∂(x+2y2+3z3)∂xdx+∂(x+2y2+3z3)∂ydy+∂(x+2y2+3z3)∂zdz=1·dx+4y·dy+9z2·dz=dx+4y·dy+9z2·dz二、多元复合函数的全微分例1：已知Z=𝐮𝟑+𝐯𝟑，u=x+y，v=3x+5y，求dZdZ=∂Z∂udu+∂Z∂vdv=∂(u3+v3)∂udu+∂(u3+v3)∂vdv2=3u2du+3v2dv=3(x+y)2du+3(3x+5y)2dvdu=∂u∂xdx+∂u∂ydy=∂(x+y)∂xdx+∂(x+y)∂ydy=1·dx+1·dy=dx+dydv=∂v∂xdx+∂v∂ydy=∂(3x+5y)∂xdx+∂(3x+5y)∂ydy=3·dx+5·dy∴dZ=3(x+y)2du+3(3x+5y)2dv=3(x+y)2(dx+dy)+3(3x+5y)2(3dx+5dy)三、已知全微分，求未知数例1：已知(𝐱𝟐+axy)dx+(𝐱𝟐+3𝐲𝟐)dy为某函数全微分，试确定a的值。设dZ=(x2+axy)dx+(x2+3y2)dy{x2+axy=∂Z∂xx2+3y2=∂Z∂y∵∂2Z∂x∂y=∂2Z∂y∂x，即∂(∂Z∂x)∂y=∂(∂Z∂y)∂x3∴∂(x2+axy)∂y=∂(x2+3y2)∂xax=2xa=2四、多元函数求极值例1：请确定z=xy(1−x−y)的极值点和极值。∂z∂x=y·(1−x−y)+xy·(−1)=y−2xy−y2∂z∂y=x·(1−x−y)+xy·(−1)=x−2xy−x2{y−2xy−y2=0x−2xy−x2=0⇒{x=0，y=0x=1，y=0x=0，y=1x=13，y=13A=𝜕2z𝜕x2=𝜕(𝜕z𝜕x)𝜕x=𝜕(y−2xy−y2)𝜕x=−2yB=𝜕2z𝜕x𝜕y=𝜕(𝜕z𝜕x)𝜕y=𝜕(y−2xy−y2)𝜕y=1−2x−2yC=𝜕2z𝜕y2=𝜕(𝜕z𝜕y)𝜕y=𝜕(x−2xy−x2)𝜕y=−2x(13，13)是函数的极大值点当x=13，y=13时，z=xy(1−x−y)=127，∴z的极大值为1274五、多元隐函数求极值例1：z=z(x，y)是由𝐱𝟐−6xy+10𝐲𝟐−2yz−𝐳𝟐+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。𝜕z𝜕x=x−3yy+z𝜕z𝜕y=−3x+10y−zy+z{x−3yy+z=0−3x+10y−zy+z=0x2−6xy+10y2−2yz−z2+18=0⇒{x=9y=3z=3或{x=−9y=−3z=−3A=𝜕2z𝜕x2=𝜕(𝜕z𝜕x)𝜕x=(−x+4y+z)(x−2y+z)(y+z)3B=∂2z∂x∂y=∂(∂z∂x)∂y=−3(y+z)2+(x−3y)(3x−11y)(y+z)3C=𝜕2z𝜕y2=𝜕(𝜕z𝜕y)𝜕y=−9x2−110y2+11z2+66xy+22yz(y+z)3x=9，y=3，z=3⇒A=16，B=−12，C=53⇒B2−AC=−136⇒极小值点x=−9，y=−3，z=−3⇒A=−16，B=12，C=−53⇒B2−AC=−136⇒极大值点(9，3)是函数的极小值点，(−9，−3)是函数的极大值点函数的极小值为3，函数的极大值为−3六、多元函数求最值例1：求z=f(x,y)=𝐱𝟐y(4−x−y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成5的闭区域上的最大值与最小值。{∂z∂x=2xy(4−x−y)−x2y=0∂z∂y=x2(4−x−y)−x2y=0解得：x=0或{x=4y=0或{x=2y=1画图可找出定义域的边界：{x=0且0≤y≤6y=0且0≤x≤6y=6−x且0≤x≤6x=0时，z=x2y(4−x−y)=0{x=4y=0时，z=x2y(4−x−y)=0{x=2y=1时，z=x2y(4−x−y)=22×1×(4−2−1)=4x=0且0≤y≤6时，z=x2y(4−x−y)=0y=0且0≤x≤6时，z=x2y(4−x−y)=0y=6−x且0≤x≤6时，z=x2y(4−x−y)=x2(6−x)[4−x−(6−x)]=2x3−12x2z=2x3−12x2在0≤x≤6范围内的最大取值是0，最小取值是−64∴最大值是4，最小值是−640x+y=6yx666函数连续函数能偏导记住偏导连续⟹函数可微⤄1高数下第三课向量a⃗=2i+3j+4k⃗={2,3,4}b⃗=3i+2j+k⃗={3,2,1}a⃗+b⃗={2,3,4}+{3,2,1}={5,5,5}一、求向量的长度例1：已知𝐚⃗=2𝐢+3𝐣+4𝐤，求|𝐚⃗||a⃗|=√22+32+42=√292例2：已知𝐛={3,2,1}，求|𝐛||b⃗|=√32+22+12=√14二、向量间点乘例1：已知𝐚⃗={2,3,4}，𝐛={3,2,1}，试求𝐚⃗·𝐛a⃗·b⃗={2,3,4}·{3,2,1}=2×3+3×2+4×1=16例2：已知|𝐚⃗|=1，