三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．222)cos(sincossin2cossin2sin1⑵2222cos2cossin2cos112sin升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin2．⑶22tantan21tan．3、（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan．5．（1）积化和差公式sin·cos=21[sin(+)+sin(-)]cos·sin=21[sin(+)-sin(-)]cos·cos=21[cos(+)+cos(-)]sin·sin=-21[cos(+)-cos(-)]（2）和差化积公式sin+sin=2cos2sin2sin-sin=2sin2cos2ααααααααααα半角公式sincos1cos1sincos1cos12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1cos;2tan12tan2sin:222αααααα万能公式cos+cos=2cos2cos2cos-cos=-2sin2sin2tan+cot=2sin2cossin1tan-cot=-2cot21+cos=2cos221-cos=2sin221±sin=(2cos2sin)26。（1）升幂公式1+cos=2cos221-cos=2sin221±sin=(2cos2sin)21=sin2+cos2sin=2cos2sin2（2）降幂公式sin222cos1cos222cos1sin2+cos2=1sin·cos=2sin217、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；②2304560304515oooooo；问：12sin；12cos；③)(；④)4(24；⑤)4()4()()(2；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottancossin122（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式cos1常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：_______________tan1tan1；______________tan1tan1；____________tantan；___________tantan1；____________tantan；___________tantan1；tan2；2tan1；oooo40tan20tan340tan20tan；cossin=；cossinba=；（其中tan；）cos1；cos1；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：)10tan31(50sinoo；cottan。94cos92cos9cos；75cos73cos7cos；推广：76cos74cos72cos；推广：二、基础训练1．下列各式中，值为12的是A、1515sincosB、221212cossinC、22251225tan.tan.D、1302cos（答：C）；2．已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为____（答：725）；3．131080sinsin的值是______（答：4）；4．已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）5．已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____（答：322）；6．已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）7．求值sin50(13tan10)（答：1）；8．已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值（答：18）9．已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____（答：22）；10．若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）11．函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________（答：51212[k,k](kZ)）12．化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）13．若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；14．当函数23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是______(答：32)；15．如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=(答：－2)；16．求值：20sin6420cos120sin3222________(答：32)17．若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）.三、规范解题1..已知α(4，43)，β(0，4),cos(α－4)＝53，sin(43＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．解：∵α－4＋43＋β＝α＋β＋2α∈(43,4)β∈(0,1sin311x)∴α－4∈(0,2)β＋43∈(43,π)∴sin(α－4)＝54cos(43)＝－1312∴sin(α＋β)＝－cos[2＋(α＋β)]＝－cos[(α－4)＋(43)]＝65562.．化简sin2·sin2+cos2cos2-21cos2·cos2.解方法一（复角→单角，从“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-21·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-21(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-21=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-21=sin2+cos2-21=1-21=21.方法二（从“名”入手，异名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-21cos2·cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-21cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-21cos2·cos2=cos2-cos2·2cos21sin2=22cos1-cos2·)sin21(21sin22=22cos1-21cos2=21.方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=22cos1·22cos1+22cos1·22cos1-21cos2·cos2=41(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+41(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-21·cos2·cos2=21.方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-21cos2·cos2=cos2(+)+21sin2·sin2-21cos2·cos2=cos2(+)-21·cos(2+2)=cos2(+)-21·［2cos2(+)-1］=21.3．已知xxxxfcossinsin3)(2；(1)求)625(f的值；(2)设2341)2(),,0(f，求sinα的值．解：（1）∵23625cos21625sin∴0625cos625sin625cos3)625(2f（2）xxxf2sin21232cos23)(∴234123sin21cos23)2(af16sin22－4sinα－11＝0解得8531sin∵0sin),0(2故8531sin4．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α(0，2)，求sinα、tanα的值．解：由已知得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0即(sin2α＋2cosα)(sin2α－cosα)＝0cos2α(1＋sinα)(2sinα－1)＝0∵α∈(0，2)cosα≠0sinα≠－1∴2sinα＝1sinα＝21∴tanα＝335.设向量(cos,sin),(cos,sin)ab，0,且若45ab，4tan3，求tan的值。【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:4coscossinsin54cos()5034tan()tan743tantan[()]341tan()tan241()43ab又03sin(-)=-53tan(-)=-44又tan=3【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换6.已知0,1413)cos(,71cos且2,(Ⅰ)求2tan的值.（Ⅱ）求.【解题思路】