高中数学不等式的分类、解法

第1页高中数学简单不等式的分类、解法一、知识点回顾1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。2.一元二次不等式的解法解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集3三个二次之间的关系：二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点4.分式不等式的解法法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法5.高次不等式解法法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法6.指数与对数不等式解法a1时)()()()(xgxfaaxgxf；0)()()(log)(logxgxfxgxfaa0a1时，)()()()(xgxfaaxgxf；)()(0)(log)(logxgxfxgxfaa7.三角不等式解法利用三角函数线或用三角函数的图像求解8.含参不等式解法根据解题需要，对参数进行分类讨论9.函数不等式解法利用函数的单调性求解，化为基本不等式（有时还会结合奇偶性）10.绝对值不等式解法（后面详细讨论）二、练习：（1）23440xx解集为（223x）（一化二算三写）（2）213022xx解集为（R）(变为≤，则得∅)（无实根则配方）三、例题与练习例1已知函数)()1()(bxaxxf，若不等式0)(xf的解集为)3,1(，则不等式0)2(xf的解集为),21()23,(解法一：由根与系数关系求出3,1ba，得32)(2xxxf，再得出新不等式，求解解法二：由二次不等式0)(xf的解集为)3,1(得0)(xf解集为),3()1,(，再由x2),3()1,(得解集变式1.已知关于x的不等式20xmxn的解集是{|51}xx，则不等式0nmx的解集为（m,n）=（-4，-5），解集为)45,(例2：不等式2232xxx≥0的解集是_____．答案：（-2，-1）∪[2，+∞）法一：化为不等式组法二：数轴标根法法三：化为整式不等式（注意等价性）变式2：不等式03323xxx的解集为.答案：)1,()3,1(例3：解关于x的不等式axxax222分析：化为02)2(2xaax，考虑分类标准：①a与0的关系②a2与-1的关系变式3：①解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10解:原不等式可化为（ax-1）（x-1）0当a0时，原不等式解集为),1()1,(a当a=0时，x-10,原不等式解集为(1,+∞)当0a1时，原不等式解集为)1,1(a当a=1时，0)1(2x，原不等式解集为当a1时，原不等式解集为)1,1(a第2页②.解关于x的不等式0)1(log12xaa答案：当a1时，解集为)2log21,0(a当0a1时，解集为)2log21,(a（总结指数与对数不等式解法）思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.例4：已知函数)0(,1)0(,1)(2xxxxf，则不等式)2()1(2xfxf的解集为分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式画出函数图像，结合图像易得不等式组01022xx或xxx21022得解集为)12,1(变式4：定义在R上的偶函数，当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集为法一：结合图像求解；法二：化为不等式组解集为),5[0]3,(例5：)(xf是定义在R上的偶函数，当0x时，axexfxsin)(，解不等式)2()1(fxf分析：0x时，0cos)(xexfx，)(xf在),0[上单调增，又它为偶函数，所以，不等式转化为)2()1(fxf，化为21x，得解集为),3()1,(探究：改为奇函数，解集为变式5：函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)1的解集为__________________．答案：(2,3)∪(－3，－2)解析由导函数图象知f(x)在(－∞，0)上为增函数；在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)1等价于－2x2－63，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)四、小结1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。五、课后思考题1.已知函数)(xf的大致图像如图，则不等式0)1)((xxxf的解集为分析：化为不等式组0)(01xfxx或0)(01xfxx进而得解集为),3()0,1(2.已知)0(2)0(2)(2xxxxxfx，解不等式8))((xff分析：换元，设txf)(，先解不等式8)(tf，得02t或30t，再转化为关于x的不等式求解，解集为)3log,1(23.已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，对任意x1，x2≥0，若x1≠x2，则0)()(2121xxxfxf，如果f13＝34，且3)(log481xf，那么x的取值范围为()A.0，12B.12，2C.12，1∪(2，＋∞)D.0，18∪12，2答案B解析：43)(log81xf，由已知可得当x≥0时，f(x)是减函数．又f(x)为偶函数，∴)log()(log8181xfxf，由)31(43)log(81fxf得31log81x∴31log3181x∴12x2.4.已知)0,2(A、)0,2(B、),2(aaC，且ABC是锐角三角形，求a的取值范围。分析：由题意可得4)2(22222aaa，解得)4,2(a教后记：知识点回顾用时较多，可简略（5分钟内）