全国优质课——基本不等式教学设计

1/7《3.4基本不等式》教学设计2/7一、教学内容解析：1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点；2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材；3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处；4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．二、学情分析：1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助；2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少；3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。三、教学目标：1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性.四、教学重点与难点：1、教学重点：基本不等式的推导及其简单应用2、教学难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值.五、教学策略分析：1、由情景1和情景2引入课题，可明确本堂的主要内容，使学生学习目标明确，进而激发学生的学习兴趣；2、精心设置“问题串”，由简到难，由感性到理性，一步步引导学生自主探究，小组讨论推导基本不等式，让学生感受知识发生发展深化的过程，也体现学生为主体，老师为主导的教学理念；3、为突破分析法证明基本不等式思路的获得这一教学难点，采用先学生小组讨论，再师生共同完成的策略；4、为突破应用基本不等式求最值这一难点，先由例题归纳应用基本不等式求最值的要点，然后趁热打铁设置两个练习，由简到难，由浅入深，采用学生板演，抢答和小组讨论等方式，及时发现问题，及时纠错，让“一正二定三相等”深入人心；5、对于转化为函数进而用函数的图像和性质求最值的问题，教师只作适当提示，不作为重点；6、课堂小结重视知识间的联系和研究问题的方法，并强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用。3/7六、教学过程设计：教学环节教学内容师生活动设计意图一、情境创设导入课题情境1：在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园.1.如果菜园的面积一定，为节省材料，就应该考虑所用篱笆最短的问题；最短是？m；2.如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就要考虑所围菜园面积最大的问题.最大是？m2；师：引导学生思考生：思考回答师：学习了本堂课的内容就很容易解决这两个最值问题情境1提出的实际问题新颖有趣，简单易懂，贴近生活，激发学生的学习兴趣，也为第三环节实际应用埋下伏笔.情境2：观看第24届国际数学家大会视频，注意观察这个图形在视频中出现了多少次？问题：你能在这个图形中找出一些相等关系或不等关系吗？师：播放视频生：观看视频后回答师：强调会标上的图形的重要性及其对数学学习的意义情境2通过会标导入新课，贴近现实，可激发学生的探究欲望，也让学生感受到数学文化的同时，激起学生的爱国情怀.二、自主探究推导公式问题1：对于“情景导学”中的图形，把“风车”抽象成平面图形.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为,ab，正方形ABCD的面积为S，4个直角三角形的面积和为1S，则：（1）正方形ABCD的边长为（2）S（3）1S(4)由图可知，S1S，即生：思考后回答师：借助几何画板动态演示面积变化过程，尤其注意归纳取等号的条件问题1将问题细化，以填空形式呈现问题，并利用图形的面积大小关系，循序渐进地抽象出重要不等式，几何画板演示直观形象，体会数形结合的思想.问题2：不等式222abab对任意的实数都成立吗？重要不等式：222abab(0,0)ab，当且仅当ab时取等号师：分析问题1中推导出的不等式中,ab的取值范围，提出问题2生：思考后回答师:如何证明？问题2培养学生学习的严谨性和逻辑推理能力.4/7生：思考后证明师：板书重要不等式，并解释当且仅当的含义问题3：如果0,0ab，用,ab分别代替重要不等式中的,ab，可得什么？取等号的条件是什么？基本不等式：2abab(0,0)ab，当且仅当ab时取等号.生：思考后回答师：板书基本不等式问题3体会代换在数学学习中的作用，感受数学知识间的联系.问题4：还有没有其他证明基本不等式的方法？法（一）作差比较法2()022ababab法（二）分析法要证明2abab①，只需证明：2abab②，要证②只需证明20abab③，要证③只需证明2()0ab④.显然，④是成立的.当且仅当ab时，④中的等号成立.师:指导学生分组讨论证明基本不等式生：分组讨论证明基本不等式师：实物投影展示学生成果，并和学生一起分析证明思路师生共同完成分析法的证明过程先从几何图形中的面积关系获得基本不等式，然后从代数的角度推导，实现由感性认识到理性认识的升华.引导学生从多个角度证明基本不等式，培养逻辑推理能力，小组讨论可培养学生的合作交流能力，实物投影可及时发现学生的问题.探究：如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，,ACaBCb.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD、OD.则：（1）半径OD（2）CD（3）显然CDOD，即师：指导学生分组讨论基本不等式的几何意义生：分组讨论，探索基本不等式的几何意义师：实物投影展示学生成果，难点是CD的求法，及时指出问题，并用几何画板演示借助初中阶段学生熟知的几何图形，并将问题细化，以填空形式呈现问题，有利于学生循序渐进地探索出基本不等式的几何意义，并进一步领悟基本不等式中等号成立的条件，5/7基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一半.ab又可称为a与b的几何平均数，2ab又可称为a与b的算术平均数，基本不等式也叫做均值不等式.基本不等式的代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.升华理解.小组讨论可培养学生的合作交流能力，投影展示成果可及时发现学生的问题.用数学符号语言、日常语言和图形语言表述基本不等式，将几何意义和代数意义一起讲解，有助于学生从多个角度认识基本不等式，培养学生数学表达能力.问题：重要不等式和基本不等式有什么联系与区别？生：思考后回答，基本不等式可由重要不等式推导得到，但它们的适用条件不同.辨析两个不等式的区别和联系，加深理解三、实际应用加深理解例：（1）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解：（1）设长为xm，宽为ym，则100xy，篱笆长为2()xym，由102xyxy可得：2()40xy，当且仅当10xy时，等号成立，所以这个矩形的长和宽都为10m时，篱笆最短，最短的篱笆是40m.（2）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2()36xy，即：18xy，矩形菜园的面积为xy2m.由92xyxy可得：师：分析解题思路，将实际问题转化为数学问题，注意分析为何可用基本不等式来解决该问题，PPT展示（1）的解答过程，请一学生板演（2），指导学生完成（2）生：一学生板演（2），其他学生自己完成（2）师：适当引导学生其他解法，比如：（1）也可转化为对勾函数，（2）可转化为二次函数和情景1前后呼应，学以致用，把两个实际问题化归为利用基本不等式求最值的数学模型，体会数学的应用价值，增强学生的学习的动力和信心.板演有利于及时发现学生解答中的问题，及时纠错.一题多解可更好的培养学生思维的发散性.6/781xy，当且仅当9xy时，等号成立，所以这个矩形的长和宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是281m.题后反思：结合基本不等式，你能将本题的结论推广为更一般的情况吗？结论：设0,0ab，1、若abP（定值），则当且仅当ab时，ab有最小值2P；2、若abS（定值），则当且仅当ab时，ab有最小值24S.要点：一正二定三相等师：引导学生将实际问题抽象为数学问题，明确已知和所求，将问题一般化.生：思考后将例题的结论推广为更一般的情况.师：板书结论，指导学生根据基本不等式的变形理解记忆该结论师生共同归纳该结论的三个要点在学生经历例题中的两个最值问题之后，及时提问，培养学生题后反思的好习惯，将特殊问题一般化，举一反三，总结规律，有利于构建系统完整的知识结构.四、巩固强化综合提升练习1：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？和的最小值是多少？（2）把16写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？积的最大值是多少？解：（1）两个正数都是6时，它们的和最小，和的最小值是12.（2）两个正数都是8时，它们的积最大，积的最大值是64.师：指导学生用刚才的结论解决该问题，注意分析三个条件是否都满足生:抢答练习1练习1设置较为基础，主要是让学生体会用基本不等式求最值的方便之处，也为练习2做好铺垫.练习2：判断下列3个命题是否正确，并说明理由.（1）函数1yxx的最小值为2.（）（2）函数42yxx(2)x的最小值为6.（）（3）函数22199yxx的最小值是2.（）解：（1）假.x可为负数，不能直接用基本不等式，师：让学生小组讨论，解决该问题生：小组讨论，小组代表回答问题师：点评学生回答，并指出：运用基本不等式求最值，三个条件缺一不可，尤其三相等最忽略.练习2可加深对用基本不等式求最值的条件的理解，小组讨论可培养学生的合作交流能力，小组代表回答问题可培养学生数学表达能力、概括能力和逻辑推理能力.7/71yxx无最小值.（2）真.4(2)22yxx2426，当且仅当4x时取等号，所以42yxx(2)x的最小值为6.（3）假.一正二定满足，但等号取不到五、课堂小结布置作业归纳回顾本堂课的内容：1、由会标数学抽象得到几何图形（赵爽弦图）2、由赵爽弦图直观想象得重要不等式3、由重要不等式代换可得基本不等式并依据不等式的性质证明基本不等式4、探索基本不等式的几何意义5、运用基本不等式求最值：三个条件缺一不可师：1、强调课堂中涉及到的数学思想：特殊到一般，分类讨论，数学结合2、数学核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算从多个角度总结归纳本堂课的主要内容，不仅重视知识本身，更重视知识间的联系和研究问题的方法；另外，更强调了数学思想方法和数学核心素养在数学学习中的作用.布置课后作业：1、必作题：课本100页：A组2101页：A组3、4，B组12、选作题：课本101页：B组2体现作业的巩固性和发展性原则，分为必做题和选作题，又充分考虑了学生的差异性.