固体物理第四章作业答案

第四章作业1.(1)能带论的结论是什么?(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得出的?(3)以一维晶体为例,如果作自由电子近似,把上述作用看作是微扰,应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:据此式指出在哪些k状态上能量会产生能隙?并指出能隙的物理意义。EkkmVkmmkannn()()222222202222Ek()•解：(1)能带理论认为电子不再是属于局域的特定原子,而是扩展于整个晶体；在k空间中电子能量E(k)是不连续的，E(k)在布里渊区内是准连续的，在布里渊区边界存在能隙；准连续分布的电子能量E(k)形成能带，能带间可以发生重叠。•(2)晶体内部电子运动受到了晶体周期势场的作用，电子作单电子近似后得出来的。•(3)当，即时出现能隙，这由于周期性势场的微扰作用使E(k)在处发生突变，形成的能隙，能隙中不存在电子。说明电子波在布里渊区边界发生反射形成驻波，并限制在布里渊区内。nakk2naknak||2nV2.设一维晶体由N个双原子分子构成，如下图所示：•晶体长度为L=Na，a为相邻分子间的距离。每个分子中两原子的间距为2b，且a4b，若势能可表示为如下形式：•式中V0是大于零的常数。a)若V0很小，请计算第一布里渊区边界上的能隙。b)若每个原子只有一个价电子，请判断晶体是否为导体？2ba100NnVxVxnabxnab•解：周期势场展开为具有周期性平面波的叠加形式：•作傅里叶展开•按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙•第一布里渊区，的个数为：Vx2,0,1,2,nixikxannnnVxVeVen221000002112cosnnNixixaaaannVbVVxedxVxnabxnabedxnaaaanV12gEV00124222coscosgVVbbEVaaaakaa22NaNak•考虑自旋后第一布里渊区共有个状态。由于有N个分子，每个分子有两个原子，每个原子只有一个价电子，所以共有2N个电子，这2N个电子正好填满第一布里渊区，因此这种材料不是导体。2N3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1(即平均每个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子能量函数En(k)能量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。5图3给出某金属表面的扫描隧道显微镜(STM)的观察到结果，请用它说明布洛赫（Bloch）波的存在及其特点。解：STM可以探测到电子密度的分布。从图中可以看出，电子密度分布具有周期性。由布洛赫定理知ikrklkkreurururR22kur由此可知，电子密度分布具有周期性。•思考题（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准连续的。•（2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)ABa8aCAEVAECBEVBE克朗尼格-朋奈模型(基泰尔，固体物理导论，P119)克朗尼格-朋奈模型得到结果：超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。